רוב הציבור סבור כי שיעור התשואה של קרנות הפנסיה והגמל, נמדד במכשירי חישוב מדויקים, אך בפועל אין הדבר נכון, כיצד נוצר האבסורד הזה?

צילום: shutterstock

 כשלים בהבנת וחישוב שיעורי תשואה

מאחר ואי הבנת הנושא קיימת בכל מקום, בקרב המשקיעים, מנהלי ההשקעות, הרגולטורים, יועצי ההשקעות ואנשי האקדמיה, אנסה בסדרת מאמרים קצרה להבהיר נושא זה לעומקו, לנתח קשריו המתמטיים/פיננסיים לתהליכי ניהול השקעות, ולנטרלו מתרביך הנוסחאות, וראשי התיבות המבלבלים שבדרך כלל חסרי חשיבות הם לעניין.

אציין כי בפועל, כל הפרסומים של הגופים המוסדיים, מנהלי התיקים וכל גוף פיננסי אחר אודות שיעורי התשואה שהשיגו בתיקים/במערכי השקעות שבניהולם – לא נכונים, (זולת שני מצבי קיצון), ובדרך כלל מציגים תמונה הרחוקה מהותית מזו הנכונה.

 תשואה – בקרב הציבור הרחב, מבטאת בפשטות את היחס בין סכום הרווח בתקופה נתונה לסכומי ההשקעה במהלכה, ויש אפילו המתייחסים בביטוי זה לסכום הרווח עצמו.

בקרב משכירי נכסים לדוגמה: התשואה חושב ע"י חלוקת דמי השכירות (שכ"ד וחניה והשכרת שטחי פרסום ועוד) בניכוי העלויות קשורות, בסיכום תזרים* ההשקעות נטו שיצר אותם. חישוב זה מציג תוצאה מספקת למדידת הישגי ההשקעה בנכס האמור.

*תזרים- הוא כל הסכומים הקיימים במהלך התקופה המטופלת (חיוביים או שליליים) לרבות שווי יתרת הפתיחה.

נעבור מתחומי התפיסות העממיות לתחום החישובים המדויקים וננתח חשיבותם . להלן מספר מושגי בסיס חשובים.

מה בין רווח לתשואה ?

 סכום רווח, הוא ביטוי חשבונאי המתאר ההפרש בין השווי הכספי בסוף התקופה (על פי רוב, שנה), לסכומי ההשקעה במהלכה, ללא קשר לעיתוי השקעתם בתקופה זו.

 רווח הוא סוג של תשואה. ריבית היא סוג של רווח ולכן גם ריבית היא סוג של תשואה.

שיעור רווח הוא היחס בין סכום הרווח שנצבר/נתקבל, לסך כל סכומי ההשקעה (התזרים) בתקופה הנסקרת ולכן הוא זהה ל"תשואה" בביטוייה העממי כמתואר לעיל.

• שיטות חישוב שיעורי התשואה הנהוגות בגופים מוסדיים, הפיננסיים ואצל מנהלי תיקי ההשקעות ובהוראת הרגולטורים, קלוקלות ואפילו פסולות ולא יכולות להניב תוצאות מדוייקות .
• כולן מבטלות ביודעין ולפי הגדרתן (גם אם תהליכיהם לא מראים זאת מיידית), את המקובלה בכל שטח חיים, להתחשב בסכומי ההשקעה במועדי מופעיהם . "שיטות " פסולות אלו, ממירות נוהג זה ביודעין ובמוצהר , בתהליך המחשב שיעור הרווח המתואר לעיל. במילים אחרות, התעלמות מוחלטת וביודעין ממועדי הופעת סכומי ההשקעה.
• שיטות חישוב שיעורי התשואה הנהוגות בגופים המוסדיים (המנהלים חסכונות הציבור) המכונות "שרשור כפולת מקדמי התשואה" שגויות וברות פוטנציאל מוכח ליצור עיוותים כבדים, אף יותר מהשיטת המצויינות לעיל. – כל השיטות הקלוקלות הנ"ל, נגזרות של "השיטה" המכונה TWR (הרחבה על כך, בהמשך).

כהתרסה ל"שיטת" TWR האמורה נציין כי : בכל המערכים הבנקאיים, פיננסיים ומסחריים ולכל אשר תפנה העין, מחשבים סכומי הריבית/התמורה לתשלום/לקבל, בהתבסס על אורכי התקופות המדוייקים הקיימים, בין תאריכי הביצוע, לסוף/תחילת התקופה המטופלת/מחושבת, אין גוף מאלו המוזכרים לעיל הנוהג אחרת. – וכאמור כל הליכי המדידה המקובלים בצמתי החיים הכספיים , מתעוותים ומשתנים מיידית כאשר עוברים למדידת שיעור התשואה בקרב אותם גופים מוסדיים היודעים היטב למדוד במדויק תמורות וריבית.

2.  חישוב שיעורי תשואה

שיעור תשואה הוא האמד המספרי, העיקרי והחשוב למדידת הישגי תיקי השקעות בתקופה נתונה.

ננתח שתי גישות לחישוב שיעור תשואה, IRR (Internal Rate of Return-שיעור תשואה פנימי (שת"פ)) מול שיטת TWR (תשואה משוקללת זמנים) ונגזריה.

IRR הוא שיעור התשואה הפנימי הגלום באלגוריתם* המתאר את תוצאת התכנסות כל רכיבי התזרים הכספי (בתיק השקעות) לסוף תקופה נתונה, זאת לאחר שנצברו לתאריך זה, בשיעור "ריבית" המאזן תזרים צבירה זה לשווי הסופי בתום התקופה.

למרות שמדובר בשיעור פנימי , פעמים רבות נציין את IRR כתהליך, אלגוריתם (לא נוסחה כמקובל לציין ) ולא שיעור מספרי בלבד. IRR מחולץ מפולינום (ראה להלן) בעל חזקות רבות וגבוהות, חישוב ההתרבות האמורה, מתבסס כמקובל בכל תחשיב, על אורכי תקופות הנמדדות במדויק, ממופעי הסכומים בתזרים האמור ועד סוף התקופה הנתונה.

פתרון IRR מציג את שיעור הריבית האמור המכנס כאמור כל סכומי התזרים לתום התקופה ולכן : IRR מהימן, מדויק ומתאים בהקפדה להגדרת: "שיעור תשואה".

שיעור תשואה פנימי IRR, מה כאן פנימי?, צריך לחלץ/לחשב מאלגוריתם זה המייצג את תזרים התיק בתקופה הנתונה, את שיעור התשואה, וזה יכול להיעשות רק מ "בפנים" – מתוך הנתונים ולא מהצבת מספרים באלגוריתם זה, שכן לא יודעים מה להציב- הרי הנתון הזה להצבה לכאורה , הוא זה שמנסים לחשבו.

• ·   "אלגוריתם הוא דרך שיטתית בתהליך מוגדר, לביצוע משימה מסוימת, במספר סופי של צעדים" .
• ·   אלגוריתם IRR ידוע מזה דורות רבים במבנהו המתייחס לצבירת זרמי הכנסות , ופתרונו/מהותו בכל צירוף אפשרי , העסיק/מעסיק מאות מבכירי המדענים.

אם כך, האלגוריתם המוגדר הזה של IRR  מיושם בכל תיק השקעות! – זהירות, אמנם IRR הוא הפתרון של האלגוריתם המתאר התהליך האמור אך, בניגוד למצופה בהליכים פיננסיים, הוא אינו מניב פתרון אחד אלא רבים.

מבנהו הקלאסי המקובל, הנלמד במינהל עסקים וכלכלה מציג "נוסחה" המתאימה לתזרים מזומנים ,אך ורק אם כל סכומי התזרים זהים ופרקי הזמנים ביניהם שווים), וזהו רק מקרה אחד מאין סוף תזרימים (והשימוש בו רב באקטואריה), המחושב בתהליך IRR.

מה לאלגוריתם IRR ולתיק השקעות ? – כדי לחשב שיעור התשואה בכל תיק השקעות לתקופה מוגדרת, יש להמיר מלוא התזרים הכספי בתיק ההשקעות לתקופה המטופלת, למבנה פולינום בו הנעלם הוא שיעור התשואה המאזן את התזרים בתיק ,לשווי הסופי, וסכומי התזרים הם מקדמי החזקות. הפולינום מרובה חזקות והנעלם בו הוא שיעור התשואה וכדי לפותרו משתמשים בטכניקת IRR .

הבהרה: משוואה בה מעבירים התוצאה לצד השני (במינוס), תהיה שווה לאפס, ומכונה במתימטיקה "פולינום" .

3.  שיעור תשואה חיצוני (שת"ח במקביל ל שת"פ) ERR– הוא שיעור ריבית חיצוני ידוע, אחיד או משתנה, המרבה כל רכיבי תזרים כספי נתון (כתיק השקעות), לתאריך עתידי ידוע (סוף התקופה). ויוצר על ידי פעולות צבירה פשוטות אלו את:"השווי הסופי".

• משלושת מרכיבי החישוב: התזרים, השווי הסופי ושיעור הריבית (התשואה) הצובר את התזרים לסוף התקופה, ידועים שניים והשלישי נדרש לחישוב.

ב- IRR (שיעור תשואה פנימי), ידועים התזרים והשווי בסוף התקופה, ומחשבים מבפנים את שיעור הריבית (התשואה) המאזן ביניהם. לא קיים תהליך מתימטי פשוט כדי לחשב את IRR, והתהליך לחישובו הוא בד"כ בשיטת "נסה וטעה" (לא ניתן להציב נתונים כל שהם ב-IRR לחישוב הנעלם החסר- שיעור התשואה).

ב ERR (שיעור תשואה חיצוני) ידועים התזרים ושיעור הריבית (התשואה) לצבירה ומחשבים מבחוץ (מנתונים חיצוניים) את השווי הסופי של התיק בתום תקופת הצבירה. הצבירה נעשית בתהליך מתימטי פשוט (הצב, צבור וסכם).

4.     בעיית ריבוי התוצאות הנכונות בפתרון IRR

• המשפט היסודי של האלגברא קובע כי כל פולינום ממעלה N מכיל N פתרונות.
• בתיק השקעות שהומר לפולינום, יתרת הפתיחה מרוחקת מהיתקה הסופית יותר מכל סכום אחר ולכן מרחקה מהסכום בימים הוא מעריך החזקה.

צמצום הבעיה למימדים "סבירים" – פתרון כל שורשי פולינום כגון זה המתאר תיק השקעות לתקופה נתונה, מפיק שני סוגי תוצאות (ללא האבחנה הסמנטית הנדרשת בהגדרות המתמטיות שאינה חיונית כאן) שסיכום כמויותיהם שווה כאמור למעריך החזקה הגבוה ביותר בפולינום המטופל. האחד :פתרונות מדומים– אלו פתרונות מתימטיים אך בתחום שאיננו ממשי ואינו מקובל בעולם המספרים השוטף, והם כפולה של שורש מינוס 1 שאין לו פתרון בתחומי האלגברא המקובלים.

השני: פתרונות ממשיים – שיעורים מספריים בתחומי המוכר והממשי (מספרים "ממשיים" הם קבוצת מספרים בספקטרום המספרים המוגדרת במלל זה).

כאשר פותרים כנדרש כל שיעורי התשואה ב-IRR (פולינום) מתקבלים כאמור כמויות גדולות של פתרונות (כולם נכונים מתמטית), רואים כי חלק ניכר מהם הוא מספרים מדומים ויתרתם הזעומה היא מספרים ממשיים.

אם מטפלים בבעיות "ארציות" ככספים, יש לסנן "החוצה" את הפתרונות המדומים ולהתייחס רק לפתרונות הממשיים שכמותם היחסית, קטנה.

יש לבחור מתוך כל הפתרונות הממשיים, את זה הנכון והמתאים למערכי השקעות שכן כאמור כל הפתרונות, המדומים והממשיים, נכונים ומדוייקים מתימטית.

5.   קיימות תוכנות מחשב ואפילו חלק מהן בחינם, המחשבות כל שיעורי התשואה בפתרון IRR, תוכנות המבצעות מלאכתן לא בהליכי "נסה וטעה" , אלא מיידית מתקבלים כל הפתרונות שלעיתים כמותם מגיעה אף לאלפים (אם אורך התקופה המטופלת– מעבר ל 6 שנים) . להפעלת תוכנות אלו נצרכים למערך ממוחשב איכותי, והבנה ביישום תהליכי אנליזה נומרית

• אנליזה נומרית- היא ענף של מתמטיקה שימושית שחוקר ו/או מנסה לשכלל את השיטות והתהליכים לחישוב, מציאה, או הערכה של פתרונות מספריים לבעיות מתמטיות שונות.

תהליכי חישוב IRR בתוכנת EXCEL של MICROSOFT

• למרות קיומן של הפונקציות IRR ו-XIRR ב-EXCEL, המיועדות לפתרון IRR, תהליכי פתרון אלו, חלקיים, רחוקים מתצוגה נאותה ומקיפה ומבוססים על השיטה המתישה של "נסה וטעה", בשיטת "נסה וטעה" מגיעים לפתרון אחד בלבד (אם הדבר אפשרי בתוכנת EXCEL).
•  המשתמש ב EXCEL אף חייב "לסייע לה" על ידי ציון משרעת הפתרונות הנראית לו כסבירה בנתונים המוזנים. כל שעושה EXCEL הוא האצת תהליכי החישוב הפשוטים של "שיטת נסה וטעה" במשרעת האמורה ולכן ככל שהמשרעת גדולה יותר, משך הפתרון (אם אכן יכולה EXCEL להפיקו) מתארך ובחלק הארי של המקרים , הוא מחוץ ליכולות החישוב של EXCEL.
• EXCEL לא מתוכנתת להציג כל /חלק משיעורי התשואה הנובעים מפתרון IRR. לכן במקרה הטוב היא מציגה פתרון אחד מיני רבים הקיימים בתהליך IRR (בעיה המכונה "האנומליה בחישוב IRR), EXCEL "לא יודעת" אודות יתר הפתרונות.
• המגבלה העיקרית והנוספת בתהליך פתרון זה, הוא אי יכולתה של EXCEL (וגם של יתר התהליכים) לדעת האם הפתרון המתקבל פיננסי* או לא, ולכן EXCEL מגיעה במקרים רבים לתוצאה ממשית , אך ללא ידיעתה ובדרך כלל אף ללא ידיעת המשתמש שהתוצאה שנתקבלה אינה ישימה ואינה מתאימה להיבטים הפיננסיים.
• כאשר EXCEL אכן מגיע לפתרון, הוא תמיד בתחום הממשיים. פתרונות "דמיוניים" הם מחוץ לתחום.

מסקנה : EXCEL אינה תוכנה לחישוב נאות וסביר של שיעורי התשואה לפי IRR.

6. מהו פתרון פיננסי: זהו שיעור תשואה הגדול מ 0%, או שלילי, בשיעור המגיע עד למינוס 100% ולא פחות (לא יותר שלילי).

מינוס 100%הוא שיעור תשואה המתאר מצב בו נמחק כל תיק ההשקעות והגיע לאפס ש"ח , בתצורתו המתימטית מופיע כ מינוס 1 (מינוס 2 הוא מינוס 200% וכד').

במערכי השקעות רגילים (לא אלו הממונפים עם שורט ומכשירים פיננסיים משולבים), לא ייתכן שיעור תשואה הנמוך מ-100%, לאמור כל שיעור תשואה מחושב הקטן מהמספר מינוס 1, אינו פיננסי שכן לא מתאים הוא לענייני כספים והשקעות ויש לנפות גם אותו ממשרעת הפתרונות היישימה.

 כגון מינוס 1.65 מתאר מצב לא קיים בו מאבדים לא רק כל שווי התיק אלא יש לשלם עוד 65% משוויו לפני המחיקה. בניהול תיקי השקעות ולפי הגדרתם, אין מצב בו מפסידים יותר משוויו הנצבר של התיק.

7. הבעיה הקשה והמהותית בתהליך חישוב שיעור התשואה בשיטת IRR, מעבר לקושי בחישוב כל שיעורי התשואה, היא איתור השיעור הנכון מהרבים שחושבו.  מההיבט המתמטי, כל השיעורים שחושבו, נכונים ומדויקים, אך מההיבטים הפיננסיים , רק אחד מתאים לתזרים המנותח ואותו יש לאתר מהרבים. מצב מתסכל זה מכונה בספרות המקצועית: "אנומליית ריבוי הפתרונות ב IRR".

בעיית איתור הפתרון הנכון מהרבים, באלגוריתם IRR, לא נפתרה עד היוםבעיית איתור הפתרון הנכון מהרבים, באלגוריתם IRR, לא נפתרה עד היום אך החתום מטה, ניסים עמר, פתר בעיה פיננסית/מתמטית זו רבת הדורות ורשם התהליך המורכב כפטנט, ברשם הפטנטים האמריקאי.

על השיטות המקורבות שהומצאו כפתרון לבעיית IRR, במאמר הבא בסדרה.

* ניסים עמר מנהל את חברת "תקין מכשירים פיננסיים בע"מ" המפתחת מערכות ממוחשבות לניהול וניתוח מערכי השקעות. בסיוע מדעני החברה, בשנים האחרונות סיים עמר לפתח שני תהליכים פיננסיים פורצי דרך ורשם אותם ברשם הפטנטים האמריקאי:

א) בחירת שיעור התשואה הנכון היחיד מהפתרונות הרבים המתקבלים בתהליך IRR במערכים פיננסיים.

ב) חישוב תרומת כל רכיב בתיק ההשקעות, לתשואה הכוללת שהושגה בו בתקופה נתונה.

www.takin.co.il