
קביעת פרמיית ביטוח מנקודת מבט הלקוח ומנקודת מבט חברת הביטוח: מאמר זה הינו מאמר המשך למאמרם של בילדר ופולניצר (2021) שכותרתו "טכניקות מתמטיות לפתרון בעיות כלכליות וחברתיות בהן משולבים מצבים של אי ודאות". מאמר זה עוסק בנושא התנהגות הפרט בתנאי אי ודאות (קרי, אקטואריה), הכולל: בחירת הפרט, העדפות לסיכון, מדידת שנאת הסיכון ואינפורמציה שאינה סימטרית. מאמר זה עוסק בתחום אקטואריית הביטוח הכללי
צילום: יח"צ
חישובים כלכליים כאלו ואחרים מבוצעים תחת הנחה של סביבה כלכלית בעלת וודאות מלאה. כך למשך, הצרכן יודע מהם המחירים העומדים בפניו, מהי הכנסתו, ומכאן הוא גוזר בנקל את תועלתו באופן וודאי.
אי וודאות יכולה להתקיים במצבים שבהם התוצאה הסופית תלויה בפעולותיהם של אחרים שאינן בשליטת הפרט. בעת ביצוע חוזה או עסקה יכולה לנבוע אי הוודאות מחוסר סימטריה באינפורמציה בין הצדדים.
במאמר זה נציג טכניקות מתמטיות שבאמצעותן הפרט יכול להעריך מהן האפשרויות שעומדות בפניו על מנת להתמודד עם מצבים של אי וודאות (כמו למשל ביטוח). כמו כן, נדון במצבים בהם יש חוסר סימטריה באינפורמציה שמתבטאת בכך שלמבוטח יש אינפורמציה שאין לחברת הביטוח. הדוגמאות המוצגות במאמר זה יכולות להיות מיושמות בנקל לנושאים אחרים כגון חוסר סימטריה באינפורמציה בין עובד ומעביד לגבי המאמץ שמשקיע עובד בעבודתו, בין הקונה והמוכר בשוק תיקי סוכני ביטוח לגבי שווי התיק ועוד.
- אינפורמציה שאינה סימטרית
בהרבה מקרים לצדדים לעסקה יש אינפורמציה שונה הקשורה לעסקה. חוסר הסימטריה באינפורמציה יכול לנבוע מניסיון, רכישת ידע או מאינפורמציה פרטית. לדוגמא, לסוכן ביטוח צעיר המעוניין לרכוש תיק ביטוח מסוכן ביטוח ותיק אין אינפורמציה לגבי שווי התיק כמו למוכר התיק. במקרים של ביטוח רפואי הפרט מודע למצבו הבריאותי יותר מחברת הביטוח. קיימים מקרים בהם ניתן לגשר על פערי האינפורמציה בעלות נמוכה יחסית. לדוגמא, סוכן הביטוח הצעיר הקונה תיק ביטוח יכול לרכוש אינפורמציה לגבי שווי התיק ובכלל זה את שוויו על ידי בדיקת התיק על ידי מעריך שווי המתמחה בתיקי ביטוח, בעלות כלשהי. מנגד, ישנם מקרים בהם עלות רכישת האינפורמציה היא גבוהה. בהמשך המאמר נדון במקרים הלקוחים משוק הביטוח אך קיימים גם מקרים מתחומים אחרים המאופיינים באינפורמציה שאינה סימטרית. חוסר הסימטרייה באינפורמציה יכול להתבטא בשני אופנים: סיכון מוסרי (Moral Hazard) ובחירה שלילית (Adverse Selection).
בכל אחד מהמקרים ננסה לבחון את השפעת חוסר הסימטריה באינפורמציה על פעולות הפרט וחברת הביטוח וננסה להציג פתרונות (חלקיים) שנועדו להתגבר על בעיית חוסר הסימטריה. המושג פתרון מתייחס לניסוח חוזה יעיל (מבחינה חברתית) בין חברת הביטוח לפרטים, בהינתן חוסר הסימטריה באינפורמציה ביניהם בהמשך, נניח כי חברת הביטוח נמצאת בשוק תחרותי, אדישה לסיכון (מכיוון שמספר המבוטחים הרב מתיישבת הנחה זו על החוק הסטטיסטי – חוק המספרים הגדולים) ואין לה עלויות ניהול.
תחת תנאים אלו ניתן להראות כי בשיווי משקל בין חברות הביטוח, תוחלת רווח חברת הביטוח הינו אפס ולכן הפרמיה שחברת הביטוח גובה שווה לתוחלת הנזק.
- סיכון מוסרי (Moral Hazard)
סיכון מוסרי הוא כינוי לבעיה הנובעת מכך שפעולותיו של מבוטח, אשר יש בהן כדי להשפיע הן על ההסתברות לקרות הנזק והן על גובה הנזק בקרות אירוע הביטוח, אינן נצפות על ידי חברת הביטוח.
בעיית הסיכון המוסרי מתעוררת לאחר עריכת חוזה הביטוח. פעולות מסוג זה שהפרט יכול לנקות כוללות, לדוגמא, התקנת גלאי עשן המפחיתה את ההסתברות לשריפה, התקנת מערכת אזעקה במכונית המפחיתה את ההסתברות לגניבת רכב, או נקיטה בתזונה נכונה המפחיתה את ההסתברות לחלות. כאשר חברת הביטוח לא יכולה לבדוק מהי השפעת הביטוח על פעולות הפרט, הרי שהתמריץ לבצע את הפעולות הנ"ל יהיה נמוך משום שפעולות אלו כרוכות בעלות מצד הפרט אשר מבוטח ממילא.
נבחן את בעיית הסיכון המוסרי בעזרת הדוגמא הבאה:
לפרט רכוש התחלתי של 10,000 ש"ח. אם הפרט מתקין מערכת אזעקה בביתו, ישנה הסתברות של 0.1 ש- 2,000 ש"ח ייגנבו מביתו. מאידך, אם הפרט לא מתקין מערכת אזעקה בביתו, ההסתברות לגניבת 2,000 ש"ח מביתו עולה ל- 0.3. נניח כי תועלת הפרט כפונקציה של רכושו הינה: U(W) = √W (כאשר הסימן √ מסמן שורש ריבועי). להמשך הניתוח נניח כי:
- הפרמיה שחברת הביטוח גובה שווה לתוחלת הנזק.
- חוזה כולל שני דברים: הפרמיה שחברת הביטוח גובה וסכום הכיסוי בקרות נזק.
נבחן 4 מצבי טבע אפשריים:
- לפרט אין אופציית ביטוח
- לפרט יש אופציית ביטוח ואין סיכון מוסרי
- יש סיכון מוסרי והפרט לא מתקין מערכת אזעקה
- יש סיכון מוסרי והפרט מתקין מערכת אזעקה
ג.1. לפרט אין אופציית ביטוח
אם לפרט אין אופציית ביטוח, נשאלת השאלה, מהו הסכום המקסימלי שהפרט מוכן לשלם עבור מערכת אזעקה?
נסמן ב- C את העלות למערכת אזעקה. אם הפרט מתקין מערכת אזעקה, הרי שתוחלת התועלת שלו נתונה על ידי:
E(U) = 0.9 ⋅ √ (10,000 – C) + 0.1 ⋅ √ (10,000 – 2,000 – C)
אם הפרט לא מתקין מערכת אזעקה, הרי שתוחלת התועלת היא 96.83 ש"ח:
E(U) = 0.7 ⋅ √ (10,000) + 0.3 ⋅ √ (10,000 – 2,000) = 96.83
על כן, העלות המקסימלית של מערכת האזעקה צריכה לקיים:
= 96.83 0.9 ⋅ √ (10,000 – C) + 0.1 ⋅ √ (10,000 – 2,000 – C)
ה- C שפותר משוואה זו הינו: 413 = C.
ג.2. לפרט יש אופציית ביטוח ואין סיכון מוסרי
אם הפרט יכול לבטח באופן מלא את רכושו מפני גניבה, כך שהפרמיה שווה לתוחלת הנזק וחברת הביטוח יכולה לבדוק האם הפרט התקין מערכת אזעקה בביתו (כלומר, אין סיכון מוסרי), נשאלת השאלה, באיזו אופציה מבין השלוש יבחר הפרט: לא לבטח כלל, לחילופין לבטח עם התקנה או לחילופי חילופין לבטח ללא התקנה?
מכיוון שהפרמיה שווה לתוחלת הנזק והפרט שונא סיכון, הפרט יבטח את עצמו. הבחירה בין שתי האופציות הנותרות (ביטוח בלי התקנה/עם התקנה) תלויה בעלות מערכת האזעקה:
- הפרט מתקין מערכת אזעקה- תוחלת הנזק במקרה זה היא 200 ש"ח (= 2,000 ⋅ 0.1). נזכיר כי כאשר הפרט מבטח את רכושו באופן מלא מפני גניבה, רכושו אינו משתנה מקרי ולכן: E[U(W)] = U(W). לפיכך, תועלת הפרט הינה E(U) = √ (10,000 – C – 200)
- הפרט לא מתקין מערכת אזעקה- תוחלת הנזק במקרה זה היא 600 ש"ח (= 2,000 ⋅ 0.3) ותועלת הפרט הינה 96.95 ש"ח. E(U) = √ (10,000 – 600) = 96.95
מכאן, הסכום המקסימלי C כך שהפרט יתקין מערכת אזעקה הינו 400 ש"ח. אם לדוגמה עלות מערכת אזעקה היא 200 ש"ח, הרי הפרט יתקינה ותועלתו תהיה 97.98 ש"ח.
ג.3. יש סיכון מוסרי והפרט לא מתקין מערכת אזעקה
כעת נניח כי קיימת בעיית הסיכון המוסרי, כלומר חברת הביטוח לא יכולה לבדוק האם הפרט התקין מערכת אזעקה. נשאלת השאלה, מהו חוזה הביטוח (הפרמיה שחברת הביטוח גובה וסכום הכיסוי במקרה של נזק), כך שהפרט יבטוח עצמו ולא יתקין מערכת אזעקה?
התקנה או אי התקנה של מערכת אזעקה כאשר יש סיכון מוסרי היא בחירתו של הפרט ללא אפשרות אכיפה של חברת הביטוח. לבחירה זו שנובעת מרצון הפרט להביא את תועלתו למקסימום קוראים בספרות המקצועית "אכיפה עצמית" (Self-Enforcing). כדי שלפרט לא יהיה תמריץ להתקין מערכת אזעקה, צריכים להתקיים שני התנאים הבאים במצטבר:
- חוזה הביטוח צריך לכלול את גובה הכיסוי שנסמנו ב- B (כלומר עבור נזק של 2,000 ש"ח יוחזרו רק B ש"ח, כאשר B ≤ 2,000) ופרמיה בגובה 0.3B (תוחלת הנזק במקרה שהפרט לא מתקין מערכת אזעקה).
- עבור חוזה הביטוח שבסעיף א, הפרט אכן בוחר לא להתקין מערכת אזעקה.
ביטוח מלא (2,000 = B) מביא את תועלת הפרט למקסימום. נראה כי ביטוח מסוג זה מקיים את שני התנאים שהוצגו לעיל. במקרה זה הפרמיה שווה לתוחלת הנזק, משמע, ל- 600 ש"ח (= 2,000 ⋅ 0.3).לכן, אם הפרט מתקין מערכת אזעקה תועלתו היא: E1(U) = √ (10,000 – 600 – C)
מאידך, אם הפרט לא מתקין מערכת אזעקה, הרי שתועלתו גבוהה יותר ונתונה על ידי המשוואה המתמטית הבאה: E2(U) = √ (10,000 – 600) = 96.95 > E1(U)
לכן, אם חוזה הביטוח כולל ביטוח מלא הרי שהפרט יבטח עצמו ולא יתקין מערכת אזעקה.
ג.4. יש סיכון מוסרי והפרט מתקין מערכת אזעקה
נמשיך להניח כי קיימת בעיית הסיכון המוסרי, כלומר שחברת הביטוח לא יכולה לבדוק האם הפרט התקין מערכת אזעקה. עוד נניח כי עלות מערכת האזעקה היא 200 ש"ח. נשאלת השאלה, מהו חוזה הביטוח (הפרמיה שחברת הביטוח גובה וסכום הכיסוי במקרה של נזק), כך שהפרט יבטוח עצמו וגם יתקין מערכת אזעקה?
כדי שלפרט יהיה תמריץ להתקין מערכת אזעקה, צריכים להתקיים שני התנאים הבאים במצטבר:
- חוזה הביטוח צריך לכלול את גובה הכיסוי שנסמנו ב- B (כלומר עבור נזק של 2,000 ש"ח יוחזרו רק B ש"ח, כאשר B ≤ 2,000) ופרמיה בגובה 0.1B (תוחלת הנזק במקרה שהפרט מתקין מערכת אזעקה).
- עבור חוזה הביטוח שבסעיף א לעיל, הפרט אכן בוחר לא להתקין מערכת אזעקה.
בשלב ראשון נבחן מה תועלת הפרט תחת שתי האפשרויות, כאשר הפרט מתקין/לא מתקין מערכת אזעקה:
- הפרט מתקין מערכת אזעקה בעלות של 200 ש"ח – מכיוון שחברת הביטוח גובה פרמיה בגובה 0.1B, הרי שתוחלת התועלת של הפרט נתונה ע"י משוואת תוחלת מצבי הטבע בהסתברויות המתאימות: E(U) = 0.9 ⋅ √ (10,000 – 200 – 0.1B) + 0.1 ⋅ √ (10,000 – 200 – 0.1B – 2,000 + B)
- הפרט לא מתקין מערכת אזעקה בעלות של 200 ש"ח – מכיוון שחברת הביטוח גובה פרמיה בגובה 0.1B, הרי שתוחלת התועלת של הפרט נתונה ע"י משוואת תוחלת מצבי הטבע בהסתברויות המתאימות: E(U) = 0.7 ⋅ √ (10,000 – 0.1B) + 0.3 ⋅ √ (10,000 – 0.1B – 2,000 + B)
כדי שתנאי ב' לעיל יתקיים (הפרט מתקין מערכת אזעקה), חברת הביטוח צריכה לבחור B שיקיים את האי-שוויון הבא: E1(U) ≥ E2(U). פתרון נומרי של המשוואה נותן שגובה הביטוח B המקסימלי (בתחום) הינו 1,015 ש"ח (בעבור פרמיה השווה ל- 101.5 ש"ח). כלומר, אם לפרט נגנב סכום של 2,000 ש"ח הוא מקבל מחברת הביטוח רק 1,015 ש"ח. תועלת הפרט במקרה זה הינה 97.967 ש"ח.
מסקנות והשוואות בין סעיפים 2-4
בשלושת הסעיפים 2 עד 4 (כולל), תוחלת הרווח של חברת הביטוח היא אפס. בעולם של אינפורמציה מלאה (סעיף 2) תועלת הפרט גבוהה יותר (97.98 ש"ח) מאשר בעולם של חוסר סימטריה באינפורמציה (בסעיף 3 תועלת 96.95 ש"ח ובסעיף 4 תועלת של 97.967 ש"ח).
כאשר קיימת בעיית הסיכון המוסרי, ההשוואה בדוגמא לעיל בין אפשרויות 3 ו- 4 מראה כי החוזה בסעיף 4 הוא הטוב ביותר מבחינה חברתית: תוחלת הרווח של חברת הביטוח בשני הסעיפים היא אפס אך תועלת הפרט בסעיף 4 גבוהה יותר מאשר בסעיף 3. בסעיף 3 כאשר החוזה "מכתיב" לפרט לא להתקין מערכת אזעקה, כיסוי הביטוח הינו מלא (B שווה לגובה הנזק) עבור פרמיה קבועה של 600 שקלים השווה לתוחלת הנזק. אם חברת הביטוח מעוניינת שהפרט יתקין מערכת אזעקה (החוזה בסעיף 4) כאשר אין היא יכולה לחייבו לעשות כן, אין באפשרותה לתמרץ את הפרט להתקינה ע"י ביטוח מלא אלא רק על ידי ביטוח חלקי.
רישום הפעולות שעל הפרט לבצע בחוזים 3 ו- 4 (התקנה או אי התקנה של מערכת האזעקה) הוא חסר משמעות. זאת מכיוון שחברת הביטוח לא יכולה לבדוק את ביצוע הפעולות. חוזים בהם לא רשומות פעולות שהצדדים לחוזה אמורים לבצע, מכיוון שאין טעם ברישומם, כי לא ניתן להוכיח האם בוצעו, אך מעצם החוזה הצדדים מבצעים אותם, נקראים חוזים סמויים (Implicit Contracts). זאת, להבדיל מחוזים גלויים בהם רשומות פעולות אלו (Explicit Contracts). החוזה בסעיך 2 נקרא "First Best" והוא החוזה היעיל ביותר בעולם של אינפורמציה מלאה, או בעולם אידיאלי בו הפרטים אמינים ומקיימים את התחייבויותיהם. החוזה בסעיף 4 נקרא "Second Best" והוא החוזה היעיל ביותר (מבין החוזים בסעיפים 3 ו- 4) תחת מגבלות של עולם עם אינפורמציה שאינה מלאה בו הצדדים פועלים על מנת להביא את תועלתם/רווחיהם למקסימום.
לא בכל מקרה החוזה בסעיף 4 טוב יותר מאשר החוזה בסעיף 3. הדבר תלוי בעלות התקנת האזעקה. ככל שעלות זו גדלה, צריכה הפרמיה לרדת כדי שלפרט יהיה תמריץ להתקין את מערכת האזעקה. אך ירידת הפרמיה משמעותה כיסוי נמוך יותר במקרה של נזק. כלומר, עבור עלות התקנה מספיק גבוהה, התועלת המקסימלית תחת חוזה 4 יכולה להיות נמוכה יותר מאשר החוזה בסעיף 3 (שם התועלת קבועה, 96.95 ש"ח, ואיננה תלויה בעלות ההתקנה. במקרה זה החוזה בסעיף 3 הוא ה- "Second Best".
- בחירה שלילית (Adverse Selection)
בחירה שלילית היא כינוי לבעיה הנובעת מכך שלמבוטח יש אינפורמציה טובה יותר מאשר לחברת הביטוח באשר לגובה ההסתברות לקרות הנזק.
בעיית הבחירה השלילית מתעוררת בעת עריכת חוזה הביטוח. עבור אנשים שונים יכולה להיות הסתברות שונה, הידועה להם אך לא לחברת הביטוח, שבביתם תקרה גניבה, שריפה או נזק אחר. בדוגמה של ביטוח רפואי ההסתברות לחלות במחלה כלשהי תלויה במצבו הבריאותי של הפרט אשר מודע לו אך לא ידוע לחברת הביטוח. אם חברת הביטוח מחשבת את הפרמיה הממוצעת עבור כל האוכלוסיה שבסיכון, אנשים בסיכון גבוה יקנו פרמיה זו ואנשים בסיכון נמוך ידחו אותה. התוצאה תהיה שהאוכלוסיה הלא רצויה מבחינת חברת הביטוח תבטח את עצמה (מכאן השם Adverse Selection), דבר שיתבטא בהפסדים לחברת הביטוח.
נבחן את בעיית הבחירה השלילית בעזרת הדוגמה הבאה:
הניחו כי קיימים שני סוגים של פרטים להם רכוש התחלתי בגובה 10,000 ש"ח. עבור פרט בעל סיכון נמוך (להלן פרט L) קיימת הסתברות של 0.1 ש- 2,000 ש"ח ייגנבו מביתו. עבור פרט בעל סיכון גבוה (להלן פרט H) קיימת הסתברות של 0.3 לגניבת 2,000 ש"ח. חלק האוכלוסייה בעלי סיכון נמוך שווה לחצי. תועלת הפרטים כפונקציה של רכושם הינה: U(W) = √W (כאשר הסימן √ מסמן שורש ריבועי). נזכיר כי הפרמיה שחברת הביטוח גובה שווה לתוחלת הנזק. לכל אורך הפתרון נשתמש בסימונים הבאים:
- W0 – הרכוש ההתחלתי של כל פרט (10,000 ש"ח)
- λ – החלק באוכלוסיה בעלי הסיכון הנמוך ביותר (0.5)
- A – גובה הנזק (2,000 ש"ח).
- pL – ההסתברות לקרות נזק עבור פרט L (0.1).
- pH – ההסתברות לקרות נזק עבור פרט H (0.3).
נבחן 3 מצבי טבע אפשריים:
- לפרטים אין אופציית ביטוח
- יש אופציית ביטוח ואין בחירה שלילית
- יש אופציית ביטוח ויש בחירה שלילית
בבעיית הסיכון המוסרי, הנחנו שעל ידי פעולה מסוימת הפרט יכול לשנות את ההסתברות לגניבה. בבעיית הבחירה השלילית, אנו מניחים כי ההסתברויות קבועות ושונות (מסיבה אקסוגנית כלשהי), הן אמנם ידועים לפרטים, אך אינן ידועות לחברת הביטוח.
ד.1. לפרטים אין אופציית ביטוח
תוחלת התועלת של פרט L הינה 98.94 ₪ = E(U) = 0.9 ⋅ √ (10,000) + 0.1 ⋅ √ (10,000 – 2,000)
תוחלת התועלת של פרט H הינה 96.83 ₪ =E(U) = 0.7 ⋅ √ (10,000) + 0.3 ⋅ √ (10,000 – 2,000)
ד.2. יש אופציית ביטוח ואין בחירה שלילית
אם הפרטים יכולים לבטח את רכושם באופן מלא מפני גניבה כך שהפרמיה שווה לתוחלת הנזק וחברת הביטוח, בניגוד לאמור לעיל, יודעת את ההסתברויות לגניבה עבור כל פרט (כלומר לא קיימת בעיית הבחירה השלילית), אזי חברת הביטוח מוכרת לפרט L ביטוח מלא עבור פרמיה של 200 ש"ח (= 2,000 ⋅ 0.1) ולכן התועלת שלו היא 98.995 ₪ =E(U) = √ (10,000 – 200)
לפרט H חברת הביטוח מוכרת ביטוח מלא עבור פרמיה בסך של 600 ש"ח ולכן התועלת שלו היא 96.95 ₪ E(U) = √ (10,000 – 600) =
ד.3. יש אופציית ביטוח ויש בחירה שלילית
כעת נניח כי קיימת בעיית הבחירה השלילית, כלומר חברת הביטוח לא יכולה להבחין בין פרט L ופרט H. במקרה זה, חברת הביטוח יכולה להציע מעין אוסף של חוזים כך שכל פרט בוחר חוזה כרצונו (Self-Selection). החוזה כאמור כולל את הפרמיה ואת גובה הכיסוי במקרה של גניבה.
חוזה אחיד לשני סוגי הפרטים (Pooling)
אם חברת הביטוח הייתה מבטחת באופן מלא עבור פרמיה השווה לתוחלת הנזק באוכלוסייה, כלומר 400 ₪ = λ ⋅ pL ⋅ A + (1- λ) ⋅ pH ⋅ A = 0.5 ⋅ 0.1 ⋅ 2,000 + 0.5 ⋅ 0.3 ⋅ 2,000
אזי תועלת שני הפרטים הייתה 97.98 ₪ =E(U) = √ (10,000 – 400)
בהשוואה לסעיף 1 מקבלים כי תועלת פרט L בסעיף זה (סעיף 3 – 97.98 ש"ח) נמוכה יותר מאשר בסעיף 1 (98.94 ש"ח) ותועלת פרט H בסעיף זה (סעיף 3 – 97.98 ש"ח) גבוהה יותר מאשר בסעיף 1 (96.83 ש"ח). לכן רק פרטים מסוג H יבטחו את עצמם ומכאן חברת הביטוח מפסידה (בתוחלת) לכל חוזה 200 ₪ =0.3 ⋅ 2,000 – 400
מכיוון שחברת הביטוח יודעת זאת, הרי שהפרמיה שתקבע תהיה 600 ש"ח. תוצאה זו אינה "First Best" מכיוון שפרטים מסוג L אינם מבטחים את עצמם.
חוזה מפריד – חוזים שונים לשני הפרטים (Separating)
חברת הביטוח מציעה חוזים שונים. מטרתה שחוזה אחד יהיה מיועד לפרט L והשני לפרט H. מכיוון שחברת הביטוח לא מבחינה ביניהם היא צריכה להציע שני חוזים כך שהחוזה המיועד לפרט L נותן לו לפחות את אותה התועלת כמו החוזה המיועד לפרט H וההפך לגבי הפרט השני. כלומר הפרטים בוחרים באופן חופשי בחוזה המיועד להם (מכאן השם חוזה מפריד). המטרה היא למצוא את אותם חוזים כך שכל פרט יבחר בחוזה המיועד לו והתוצאה תהיה יעילה תחת האילוץ של חוסר הסימטריה באינפורמציה ("Second Best"). הרעיון בבניית חוזים ש"יפרידו" בין שני סוגי הפרטים מתבסס על כך שהורדת כיסוי הביטוח פוגע חזק יותר בפרט H מאשר בפרט L. תוצאה יעילה חייבת לקיים את התנאים הבאים:
- לפרט H מוצע חוזה עם כיסוי מלא (A), בפרמיה השווה לתוחלת הנזק שלו: BH = pH ⋅ A.
- לפרט L מוצע חוזה עם כיסוי בגובה A0, בפרמיה השווה לתוחלת הנזק המכוסה שלו: BL = pL ⋅ A0, כך שפרט H אדיש בין החוזה המוצע לו לבין החוזה המוצע לפרט L, כלומר, משוואת תוחלת מצבי הטבע היא: UH(W0 – pH ⋅ A) = pH ⋅ UH(W0 – pL ⋅ A0) + (1- pH) ⋅ UH(W0 – A – pL ⋅ A0 + A0)
במצב כזה אנו נניח כי פרט H אכן בוחר את החוזה המיועד לו.
בדוגמה, לפרט H מוצע חוזה עם כיסוי מלא בפרמיה של 600 ש"חBH = ותועלתו היא 96.95 ש"ח. לפרט L מוצע חוזה עם כיסוי בגובה A0 בפרמיה השווה לתוחלת הנזק המכוסה שלו, BL = 0.1 ⋅ A0, כך שפרט H אדיש בין החוזה המוצע לו לבין החוזה המוצע לפרט L, כלומר, משוואת תוחלת מצבי האפשריים בהסתברויות המתאימות היא: √ (10,000 – BH) = 0.7 ⋅ √ (10,000 – BL) + 0.3 ⋅ √ (10,000 – 2,000 – BL + A0)
משמעות שוויון זה הוא שלפרט H אין תמריץ לבחור את החוזה המיועד לפרט L.
על ידי הצבה של הפרמיות המיועדות לשני הפרטים, 600 ש"ח ו- 0.1 ⋅ A0, במשוואה האחרונה נקבל את הזהות הבאה: √ (10,000 – 600) = 0.7 ⋅ √ (10,000 – 0.1 ⋅ A0) + 0.3 ⋅ √ (10,000 – 2,000 + 0.9 ⋅ A0)
פתרון משוואה זו נותן: 104 ש"ח = A0. מכאן החוזה המיועד לפרט L הוא כיסוי של 104 ש"ח בפרמיה של 10.4 ש"ח ותוחלת התועלת שלו הינה 98.95 ₪ =0.9 ⋅ √ (10,000 – 10.4) + 0.1 ⋅ √ (10,000 – 2,000 + 0.9 ⋅ 104)
תוצאה זו גבוהה יותר מאשר במצב ללא ביטוח (סעיף 1 – 98.94 ש"ח), גבוהה יותר מהמתקבל תחת החוזה האחיד (97.98 ש"ח), וגבוהה יותר מהתועלת אם פרט זה בוחר בחוזה המיועד לפרט H (96.95 ש"ח).
בדוגמה זו מצאנו כי לא קיים שיווי משקל שבו יש חוזה אחיד (Pooling). קיום שיווי משקל כזה תלוי בהתפלגות האוכלוסייה בין פרטים מסוג L לפרטים מסוג H. בדוגמה הנחנו שהאוכלוסייה מתפלגת בצורה שווה: חצי מהאוכלוסייה הם פרטים מסוג L והחצי השני פרטים מסוג H.
אם החלק היחסי של פרטים מסוג L היה λ ופרטים מסוג H היה (1- λ) אזי הפרמיה תחת החוזה האחיד הייתה כדלקמן: λ ⋅ 0.1 ⋅ 2,000 + (1- λ) ⋅ 0.3 ⋅ 2,000 = 600 – 400 ⋅ λ
ככל ש- λ קרובה ל- 1 הפרמיה שפרט L משלם קרובה ל- 200 ש"ח ותועלתו ל- 98.995 ש"ח שזוהי הפרמיה והתועלת שלו כאשר לא קיימת בעיית הבחירה השלילית. במקרה זה יכול להיות שיווי משקל מפריד. כך לדוגמא, אם λ = 0.99 אזי הפרמיה הממוצעת תחת החוזה האחיד היא 204 ₪ = 600 – 400 ⋅ 0.99
במקרה זה תועלת שני הפרטים היא 98.97 ₪ = √ (10,000 – 204)
תועלת זו גבוהה מתועלות שני הפרטים במקרה שבו לפרטים אין אופציית ביטוח.
- סיכום
אחת הבעיות המאפיינות את המציאות הכלכלית היא אינפורמציה שאינה סימטרית (Asymmetric Information). אחת הסיבות לחשיבות קיומם של מתווכים פיננסיים (כגון: בנקים וחברות ביטוח) היא אינפורמציה שאינה סימטרית. המשמעות היא שבפעילות פיננסית צד א' לא תמיד יודע את אותם הנתונים כמו צד ב'. אינפורמציה שאינה סימטרית עלולה להוביל לקבלת החלטות לא נכונה.
לדוגמא, תומר מחליט לבצע פרויקט מסוים, כאשר פרויקט זה דורש השקעה ראשונית ועל כן יש צורך בגיוס כסף. תומר פונה לבנק ומגייס ממנו כסף באמצעות הלוואה. הבנק אינו יודע את כל המידע על הפרויקט שבו יושקע כספו ועל הסיכונים שכספו לא יחזור. למעשה, חוסר מידע במערכת הפיננסית יכול להוביל לשתי בעיות מרכזיות, לפני ביצוע העסקה ולאחריה.
בחירה שלילית (Adverse Selection) הינה בעיה הנוצרת עקב אינפורמציה שאינה סימטרית לפני ביצוע העסקה. בחירה שלילית בשווקים הפיננסים מופיעה כאשר ללווים הפעילים ביותר בשוק (אלו המחפשים יותר מקורות מימון) קיים סיכון אשראי גדול והסיכוי לבחור בהם גדול. במקרה זה מלווים יחליטו לא להלוות בכלל למרות שיכולים להיות בשוק גם לווים בעלי סיכון אשראי נמוך.
סיכון מוסרי (Moral Hazard) הינה בעיה הנוצרת עקב אינפורמציה שאינה סימטרית אחרי ביצוע העסקה. סיכון מוסרי בשווקים הפיננסים מופיע כאשר הלווים בשוק משתמשים בהלוואה (לאחר שקיבלו אותה) לצרכים שונים ממה שהתכוונו. במקרה זה מלווים יחליטו שלא להלוות בכלל למרות שיכולים להיות בשוק גם לווים אשר יפעלו על פי מה שהתכוונו.
ההבדל בין בחירה שלילית לסיכון מוסרי הוא שמדובר בשתי בעיות שונות מכיוון שבחירה שלילית קשורה לאינפורמציה שאינה סימטרית לפני ביצוע ההלוואה, וסיכון מוסרי קשור לאינפורמציה שאינה סימטרית לאחר ביצוע ההלוואה.

האקטואר רועי פולניצר הוא כלכלן רב הישגים ותפקידים, הוא נחשב גורם סמכותי ומוערך ביותר בתחום הפיננסי בישראל, עיקר מומחיותו היא בתחומי המימון, הערכות השווי, האקטואריה, ניהול הסיכונים, ההנדסה הפיננסית והנגזרים. האקטואר פולניצר הוא מייסד ויו"ר לשכת מעריכי השווי והאקטוארים הפיננסיים בישראל והוא אף עמד בראש וועדה שדנה והמליצה לגבי מדיניות הערכות שווי עבור עובדי רשות המסים בישראל ("וועדת פולניצר").
בשנת 2024 מינה סגן ראש הממשלה ושר המשפטים (בהסכמה מלאה עם ממלא מקום נשיאת בית המשפט העליון) את האקטואר פולניצר לכהן הן כחבר בוועדה סטטוטורית לבחירת אקטוארים מטעם בתי המשפט בישראל והן כחבר בוועדה ממשלתית לבחירת כלכלנים (מעריכי שווי) מטעם בתי המשפט בישראל.

שווי פנימי – מעריכי שווי בלתי תלויים
שווי פנימי – מעריכי שווי בלתי תלויים היא פירמת ייעוץ פיננסי פרטית שהוקמה על ידי מעריך השווי המוערך האקטואר רועי פולניצר בשנת 2011. לפירמה פעילות עיקרית של ביצוע הערכות שווי תאגידים, נכסים בלתי מוחשיים ומכשירים פיננסים מורכבים ומתן ייעוץ כלכלי לתאגידים וליחידים ובנוסף פעילות של עריכת חוות דעת אקטואריות בדיני משפחה, דיני נזיקין, דיני עבודה, אקטואריית ביטוח כללי, אקטואריית ביטוח חיים-פנסיה ובריאות ואקטואריה פיננסית ומתן ייעוץ אקטוארי לתאגידים וליחידים. שווי פנימי מתמחה בהערכת שווי (מימון), אקטואריה, בנקאות, ביטוח אופציות, הנדסה פיננסית ומימון הפירמה.
בשנת 2018 שווי פנימי החלה לתפקד כגורם מצטט מוכר בישראל המספק 4 סוגי מטריצות של ריביות מסוכנות להיוון (עקומי ריבית): שקלי, צמוד, דולר ויורו לתקופות של עד 25 שנה (בטווחי זמן של שלושה חודשים), למח"מ ודירוג אשראי נתונים, כאשר 4 סוגי המטריצות כוללים גם וקטורים של ריביות חסרי סיכון להיוון (וקטורי ריבית).
מייסד הפירמה הוא האקטואר רועי פולניצר. הצוות המקצועי של החברה מורכב ממקצוענים המנוסים בהערכות שווי, אקטואריה, ניהול סיכונים, אופציות ובתחום ההנדסה הפיננסית כאשר בראש המערכת נמצא האקטואר רועי פולניצר שמפקח ונותן את הטון הכללי לגבי עבודות הפירמה.

האקטואר אבירם בילדר, רו"ח
בעלי פירמת הייעוץ "בילדר גרופ" לייעוץ אקטוארי פיננסי וכלכלי עם ניסיון של מאות הערכות שווי, תוכניות עסקיות וחוות דעת מימוניות/כלכליות. בעל ניסיון משנת 2007 בביצוע חוות דעת מימוניות/כלכליות בנושאים: הערכת שווי חברות, סוכנויות ביטוח, הפסדי שכר, הפסדי פנסיה וזכויות סוציאליות, נזקי גוף, ביטוח לאומי, פנסיה תקציבית, איזון משאבים עקב גירושין, נכסי קריירה, בדיקה והערות לחוות דעת של מומחים, הערכות שווי קניין רוחני, הערכות שווי אופציות, בדיקה של התנהלות בחשבונות בנק, חישובי ריבית ועוד. כמו כן, עוסק בייעוץ עסקי, תוכניות עסקיות, משכנתאות וגיוסי אשראי. אקטואר סיכוני חיים (LRA) מוסמך מטעם לשכת מעריכי השווי והאקטוארים הפיננסיים בישראל משנת 2020.

פירמת הייעוץ "בילדר גרופ" קיימת מ- 2013 ומספקת שירותי ייעוץ אקטוארי והערכות שווי כלכליות לחברות וליחידים. פירמת הייעוץ נותנת שירות מקצועי ואמין בנושאים המצריכים חוות דעת אקטוארית או הערכת שווי כלכלית, כגון: הערכות שווי תאגידים, מגזרים ופרוייקטים, ייחוס עלויות רכישה PPA – Purchase Price Allocation, בדיקות Impairment למוניטין, הערכת שווי נגזרים משובצים (Embedded derivatives), הערכת שווי אופציות (לרבות A409, אופציות פיננסיות, אופציות משובצות ואופציות אקזוטיות), הערכת שווי מכשירי הון ומכשירים פיננסיים מורכבים, ניתוח סיכונים (רגישות, VaR), הערכות שווי נכסים טכנולוגיים בלתי מוחשיים, הערכת שווי מכשירים פיננסיים מורכבים ונגזרים משובצים, תמחור חוזי ביטוח חיים, ביצוע מחקרים סטטיסטיים ובניית מודלים אקטואריים וכלכליים.