חישובים כלכליים כאלו ואחרים מבוצעים תחת הנחה של סביבה כלכלית בעלת וודאות מלאה. כך למשל, הצרכן יודע מהם המחירים העומדים בפניו, מהי הכנסתו, ומכאן הוא גוזר בנקל את תועלתו באופן וודאי. עם זאת, במציאות חיינו קיימת אי וודאות במספר מישורים. לדוגמא, בעת רכישת כרטיסי הגרלה ובעת ביצוע עסקאות בשוק ההון אין הפרט יודע מה תהיה התוצאה הסופית
צילום: shutterstock
אי וודאות יכולה להתקיים במצבים שבהם התוצאה הסופית תלויה בפעולותיהם של אחרים שאינן בשליטת הפרט. בעת ביצוע חוזה או עסקה יכולה לנבוע אי הוודאות מחוסר סימטריה באינפורמציה בין הצדדים. במאמר זה נציג טכניקות מתמטיות שבאמצעותן הפרט יכול להעריך את תועלתו במצבים של אי וודאות. הדוגמאות המוצגות במאמר זה יכולות להיות מיושמות בנקל לנושאים אחרים כגון חוסר סימטריה באינפורמציה בין הקונה למוכר בשוק תיקי ביטוח לגבי טיב התיק ועוד.
- מושגים בסיסיים
בבואנו למדל אי וודאות יש לתאר בשלב הראשון את אוסף התוצאות האפשריות. מה שמעניין את הפרט הינה התוצאה שתשפיע עליו ישירות. לדוגמה, אם מטילים מטבע כך שאם יוצא עץ הפרט מקבל 10 שקלים ואם יוצא ראש הוא משלם 10 שקלים, אזי, התוצאות מבחינת הפרט אינן (עץ, ראש) אלא (10-,10). לכל תוצאה אפשרית (מקרית) קיימת הסתברות להתממשותה. פונקצית ההתפלגות על אוסף התוצאות האפשריות מתארת את אי הוודאות לגבי תוצאות אלו, וכל פונקציית ההתפלגות על אוסף התוצאות האפשריות נקראת הגרלה (או הימור). הערך הצפוי מהגרלה הוא תוחלת התשלום מההגרלה תחת כל מצב טבע משוקללת בהסתברות לקרות כל מצב טבע.
נהו לסווג את סוגי ההימורים על פי תוחלת התשלום בצורה הבאה:
- הימור לא הוגן (Unfair Gamble) הוא הימור שתוחלתו היא שלילית. לדוגמא, אם קיימת הגרלה שבה בהסתברות 0.3 מקבלים 50 ש"ח, בהסתברות 0.7 משלמים 40 ש"ח, או אז אוסף התוצאות האפשריות הוא (40,50-) והערך הצפוי מהגרלה זו הוא מינוס 13 (= 50 ⋅ 0.3 + 40- ⋅ 0.7).
- הימור הוגן (Fair Gamble) הוא הימור שתוחלתו היא אפס. לדוגמא, אם קיימת הגרלה שבה בהסתברות של 0.5 מקבלים 10 ש"ח ובהסתברות של 0.5 משלמים 10 ש"ח, או אז אוסף התוצאות האפשריות הוא (10-,10) והערך הצפוי מהגרלה זו הוא אפס (= 10- ⋅ 0.5 + 10 ⋅ 0.5).
- הימור מיטיב (Favorable Gamble) הוא הימור שתוחלתו היא חיובית. לדוגמא, אם קיימת הגרלה שבה בהסתברות של 1.0 מקבלים 2 ש"ח. התוצאה האפשרית היחידה היא 2 והערך הצפוי מהגרלה זו הוא 2 (= 2 ⋅ 1.0).
הגרלה מורכבת הינה הגרלה שתוצאתה היא בעצמה הגרלה. לדוגמא, סוכן ביטוח צעיר מעוניין לקנות תיק ביטוח מסוכן ביטוח ותיק ואין לו אינפורמציה על טיב התיק (סוכן הביטוח הותיק מצהיר בכל מקרה שהתיק הוא "בובה"). ידוע כי:
- אם תיק הביטוח הוא "בובה", בהסתברות 0.8 הרווח הוא 100 ש"ח ובהסתברות של 0.2 הרווח הוא 50 ש"ח.
- אם תיק הביטוח הוא "על הפנים", בהסתברות 0.5 הרווח הוא 100 ש"ח ובהסתברות של 0.5 הרווח הוא 40 ש"ח.
- ישנה הסתברות של 0.6 שהתיק הוא "בובה" והסתברות של 0.4 שהתיק הוא "על הפנים".
נסמן את ההגרלה (המורכבת) כ-: q0.4 + p0.6. סימן החיבור פה אינו חיבור רגיל, אלא, שבהסתברות של 0.6 הגרלה p תתממש ובהסתברות של 0.4 הגרלה q תתממש. אם נחשב את ההסתברות לכל תוצאה נקבל את ההגרלה הבאה:
התוצאה היא 100 ש"ח בהסתברות של 0.68 (= 0.5 ⋅ 0.4 + 0.8 ⋅ 0.6), 50 ש"ח בהסתברות של 0.12 (= 0.2 ⋅ 0.6) והתוצאה היא 40 ש"ח בהסתברות של 0.2 (= 0.5 ⋅ 0.4).
- בחירת הפרט
לאחר תיאור אי הוודאות על ידי הגרלות היינו מעוניינים לבנות מודל שיאפשר לנו להשוות בין הגרלות אלו. פונקציית התועלת שדנו בה עד כה, התייחסה לתוצאות וודאיות ולכן אין אנו יכולים ליישמה על הגרלות אלו. בנצשך נדון בשתי תיאוריות אשר מנסות לתת מענה לבחירת הפרט בין הגרלות שונות:
- שליטה סטוכסטית מסדר ראשון.
- פונקציית התועלת לפי פון-נוימן מורגנשטרן – תוחלת התועלת.
- שליטה סטוכסטית מסדר ראשון
אם התוצאות שנסמנן ב- x הינן כספיות, המשמעות שהגרלה p שולטת סטוכסטית מסדר ראשון על הגרלה q, הינה שלכל סכום כסף, y, ההסתברות לקבל לכל היותר (קרי, במקסימום) y הינה נמוכה יותר תחת p מאשר תחת q. נסביר זאת באמצעות הדוגמא הבאה:
הגרלה p: בהסתברות של 0.5 מקבלים 10 ש"ח ובהסתברות של 0.5 מקבלים 15 ש"ח.
הגרלה q: בהסתברות של 0.5 מקבלים 5 ש"ח ובהסתברות של 0.5 מקבלים 10 ש"ח.
דוגמא זו מראה כיצד ל- p שליטה סטוכסטית מסדר ראשון על q (בכל מצב טבע, הגרלה p מציעה תגמול גבוה יותר מזה של הגרלה q).
חסרונה העיקרי של שיטה זו שהיא אינה שלמה בכך שישנם מקרים בהם לא ניתן להשוות לפי קריטריון זה בין שתי הגרלות. הדוגמא הבאה ממחישה זאת.
הגרלה p: בהסתברות של 0.5 מקבלים 10 ש"ח ובהסתברות של 0.5 מקבלים 15 ש"ח.
הגרלה r: בהסתברות של 1.0 מקבלים 10 ש"ח.
ניתן לראות בדוגמא זו כי אין הגרלה שיש לה שליטה סטוכסטית מסדר ראשון על ההגרלה האחרת.
- פונקציית התועלת לפי פון-נוימן מורגנשטרן
פונקציית התועלת לפי פון-נוימן מורגנשטרן הינה תיאוריה שלמה, כלומר לכל השוואה בין שתי הגרלות יש תוצאה חד משמעית.
לפי המשפט ה- 1 של פון-נוימן מורגנשטרן הפרט יעדיף הגרלה שבה תוחלת התועלת (שתסומן ב- (U)E) היא הגבוהה ביותר. מכאן ניתן לומר כי הפרט ממקסם את תוחלת התועלת. למרות שבהמשך נדון בתוצאות המובטאות בערך כספי, במשפט 1 קבוצת התוצאות איננה מוגבלת לתוצאות כספיות.
במונח הגרלה משתמשים לעיתים לתיאור הגרלה הכוללת רק את התשלום המקרי X (כמו בדוגמאות שהוצגו עד כה), ולעיתים לתיאור הגרלה הכוללת את הרכוש הסופי (שהוא משתנה מקרי) הכולל את סכום התשלום המקרי (X) ואת הרכוש ההתחלתי (שיסומן ב- W0): X + W0 = W. חשוב להדגיש כי לצורכי חישוב תוחלת התועלת, המשתנה בפונקציית התועלת הוא W (ולא X!). נבהיר זאת בעזרת הדוגמא הבאה.
לפרט פונקציית תועלת מהצורה: U(W) = √W (כאשר הסימן √ מסמן שורש ריבועי) ורכוש בגובה 100 ש"ח. אם הפרט ממקסם את תוחלת התועלת, איך ידרג הפרט את שלוש האופציות הבאות:
- לא להמר כלל
- הימור בו בהסתברות של 0.4 יפסיד 36 ש"ח ובהסתברות של 0.6 ירוויח 21 ש"ח.
- הימור בו בהסתברות של 0.1 יפסיד 51 ש"ח ובהסתברות של 0.9 ירוויח 44 ש"ח.
אופציה 1: במקרה זה סך הרכוש של הפרט, W, איננו משתנה מקרי, הואיל והוא מקבל בהסתברות של 1.0 את הערך 100 ש"ח (= 0 – 100). מכאן שתוחלת ההגרלה היא 10 ש"ח, כדלקמן:
E1(U) = U(100-0) = √100 = 10
אופציה 2: במקרה זה X הוא משתנה מקרי השווה למינוס 36 ש"ח (36- ש"ח) או 21 ש"ח, ולכן סך הרכוש של הפרט, W, הוא משתנה מקרי המקבל את הערכים 64 ש"ח (= 36 – 100) ו- 121 ש"ח (= 21 + 100). מכאן שתוחלת ההגרלה היא 9.8 ש"ח, כדלקמן:
E2(U) = 0.4 ⋅ U(100-36) + 0.6 ⋅ U(100+21) = 0.4 ⋅ √64 + 0.6 ⋅ √121= 9.8
אופציה 3: במקרה זה X הוא משתנה מקרי השווה למינוס 51 ש"ח (51- ש"ח) או 44 ש"ח, ולכן סך הרכוש של הפרט, W, הוא משתנה מקרי המקבל את הערכים 49 ש"ח (= 51 – 100) ו- 144 ש"ח (= 44 + 100). מכאן שתוחלת ההגרלה היא 11.5 ש"ח, כדלקמן:
E3(U) = 0.1 ⋅ U(100-51) + 0.9 ⋅ U(100+44) = 0.1 ⋅ √49 + 0.9 ⋅ √144= 11.5
מכאן שאופציה 3 עדיפה על אופציה 1 ואופציה 1 עדיפה על אופציה 2.
- העדפות לסיכון
את ההעדפות לסיכון מחלקים לשלוש קטגוריות: שנאת סיכון, אדישות לסיכון ואהבת סיכון.
- שנאת סיכון- הפרט מעדיף את הערך הצפוי מההגרלה מאשר את ההגרלה עצמה. אם בפני הפרט ניצבת הגרלה עם שתי תוצאות בלבד, W1 בהסתברות p ו- W2 בהסתברות 1-p המשמעות של שנאת סיכון היא שהפרט מעדיף לקבל כאן ועכשיו את תוחלת התשלום מההגרלה על פני השתתפות בהגרלה עצמה. חשוב לציין שפונקציית התועלת של פרט שונא סיכון (כזה המעדיף את הערך הצפוי מההגרלה מאשר את ההגרלה עצמה) מתאפיינת בפונקציית תועלת קעורה, משמע, שהתועלת השולית שלו פוחתת ככל ש- W עולה (כאשר Wi הוא תוצאת ההגרלה תחת מצב הטבע i). דוגמא לפונקציית תועלת קעורה או לפונקציה בעלת תועלת שולית פוחתת הינה פונקציית תועלת מהצורה U(W) = √W (ניתן להיווכח על ידי חישוב דיפרנציאלי כי הנגזרת הראשונה של פונקציה זו הינה חיובית בעוד שהנגזרת השנייה של פונקציה זו הינה שלילית).
- אדישות לסיכון- הפרט אדיש בין הערך הצפוי מההגרלה ומההגרלה עצמה. אם בפני הפרט ניצבת הגרלה עם שתי תוצאות בלבד, W1 בהסתברות p ו- W2 בהסתברות 1-p המשמעות של אדישות לסיכון היא שהפרט מעדיף אדיש בין לקבל כאן ועכשיו את תוחלת התשלום מההגרלה לבין השתתפות בהגרלה עצמה. חשוב לציין שפונקציית התועלת של פרט אדיש לסיכון (כזה האדיש בין הערך הצפוי מההגרלה ומההגרלה עצמה) מתאפיינת בפונקציית תועלת לינארית, משמע, שהתועלת השולית שלו קבועה לכל W (כאשר Wi הוא תוצאת ההגרלה תחת מצב טבע i). דוגמא לפונקציית תועלת קעורה או לפונקציה בעלת תועלת שולית פוחתת הינה פונקציית תועלת מהצורה U(W) = W (ניתן להיווכח על ידי חישוב דיפרנציאלי כי הנגזרת הראשונה של פונקציה זו הינה 1 בעוד שהנגזרת השנייה של פונקציה זו הינה אפס).
- אהבת סיכון- הפרט מעדיף את ההגרלה עצמה מאשר את הערך הצפוי מההגרלה. אם בפני הפרט ניצבת הגרלה עם שתי תוצאות בלבד, W1 בהסתברות p ו- W2 בהסתברות 1-p המשמעות של אהבת סיכון היא שהפרט מעדיף להשתתף בהגרלה עצמה על פני קבלה כאן ועכשיו של תוחלת התשלום מההגרלה. חשוב לציין שפונקציית התועלת של פרט אוהב סיכון (כזה המעדיף את ההגרלה עצמה מאשר את הערך הצפוי מההגרלה) מתאפיינת בפונקציית תועלת קמורה, משמע, שהתועלת השולית שלו עולה ככל ש- W עולה (כאשר Wi הוא תוצאת ההגרלה תחת מצב הטבע i). U(W) = W⋅W = W^2 (ניתן להיווכח על ידי חישוב דיפרנציאלי כי הנגזרת הראשונה של פונקציה זו הינה חיובית וכך גם הנגזרת השנייה שלה).
ערך וודאי שקול (Certainty Equivalent)– הערך הוודאי (CE) של הגרלה הינו סכום הכסף שהפרט אדיש בין קבלתו בוודאות לבין ההגרלה:
E(U) = U(CE) ⇒ CE = U√ E(U)
לפי המשפט ה- 2 של פון-נוימן מורגנשטרן הפרט שונא סיכון אם ורק אם הערך הוודאי השקול קטן יותר מהערך הצפוי מההגרלה, E(W) > CE (הדבר נובע מכך שפונקציית התועלת קעורה ועולה עם W).
פרמיית הסיכון (Risk Premium)- פרמיית הסיכון מתוארת על ידי ההפרש בין הערך הצפוי מההגרלה לבין הערך הוודאי השקול:
RP(W) = E(W) – CE
משמעותה של פרמיית הסיכון היא סכום הכסף המקסימלי שמוכן הפרט לשלם (אם 0 < RP) או לקבל (אם 0 > RP) מעבר לתוחלת הנזק כדי לבטל את הסיכון. מתוך משפט 2 מתקבל כי אם הפרט שונא סיכון אזי פרמיית הסיכון חיובית, אם הוא אדיש לסיכון פרמיית הסיכון שווה לאפס ואם הפרט אוהב סיכון פרמיית הסיכון היא שלילית. נסביר זאת באמצעות דוגמא.
נניח כי לפרט פונקציה תועלת מהצורה: U(W) = √W. לאותו פרט רכוש התחלתי בערך של 100 ש"ח וידוע כי העדפות הפרט מקיימות את עקרונות תוחלת התועלת. קיימת הסתברות של 0.4 שלפרט ייגרם נזק של 75 ש"ח (כלומר 25 = W) והסתברות של 0.6 כי לא יינזק כלל (100 = W).
השאלה מהי העדפתו של אותו פרט לסיכון? הואיל ופונקציית התועלת של הפרט שלנו הינה מהצורה הבאה: U(W) = √W הרי שמדובר בפונקציית תועלת קעורה או בפונקציה בעלת תוחלת שולית פוחתת המאפיינת פרט שונא סיכון.
כעת נחשב את הערך הצפוי מההגרלה, תוחלת התועלת, הערך הוודאי השקול, תוחלת הנזק ואת פרמיית הסיכון.
הערך הצפוי מההגרלה נאמד על ידינו ב- 70 ש"ח, כדלקמן:
E(W) = 0.4 ⋅ (100-75) + 0.6 ⋅ (100-0) = 0.4 ⋅ 25 + 0.6 ⋅ 100 = 70
תוחלת התועלת נאמדה על ידינו ב- 8 ש"ח, כדלקמן:
E(U) = 0.4 ⋅ U(100-75) + 0.6 ⋅ U(100-0) = 0.4 ⋅ √25 + 0.6 ⋅ √100 = 8
הערך הוודאי השקול נאמד על ידינו ב- 64 ש"ח, כדלקמן:
CE = U^-1(8) = (8 ⋅ 8) = 8^2 = 64
ניתן לראות שהפרט כמעט אדיש בין קבלת הכנסה וודאית של 64 ש"ח לבין ההשתתפות בהגרלה שתוחלתה הצפויה היא 70 ש"ח.
תוחלת הנזק (Expected Damage) נאמדה על ידינו ב- 30 ש"ח, כדלקמן:
ED = p ⋅ A + (1 – p) ⋅ 0 = 0.4 ⋅ 75 + 0.6 ⋅ 0 = 30
פרמיית הסיכון נאמדה על ידינו ב- 6 ש"ח, כדלקמן:
RP(W) = E(W) – CE = 70 – 64 = 6
הפרט מוכן לשלם, מעבר לתוחלת הנזק (שנאמדה על ידינו ב- 30 ש"ח), עד 6 שקלים כפרמיה כדי לבטל את הסיכון.
שימו לב שהפרט שלפנינו הינו שונא סיכון ולכן מתקיים שהתועלת מתוחלת התשלום (השורש הריבועי של 70 ש"ח השווה ל- 8.366 ש"ח) גבוהה מתוחלת התועלת (8 ש"ח במקרה דנן שלפנינו):
U(E(W)) = U(70) = √70 > E(U) = 8
כעת נעבור לבעיות קצת יותר מציאותיות.
- הערכה אקטוארית של פנסיית גישור של פורש מצה"ל
הנתונים:
- מועד עריכת התחשיב: 26/11/2021.
- הפורש הזכאי לפנסיית גישור הינו יליד 22/10/1971, בן 50 וחודש במועד עריכת התחשיב. לצורך החישוב גיל הפורש עוגל על ידנו לגיל 50.
- התבקשנו לבצע חישוב לשווי הנוכחי האקטוארי של תשלומי פנסיית גישור החודשיים העתידיים שהפורש יקבל ממשרד הביטחון החל מועד עריכת התחשיב ועד הגיעו בחיים לגיל הפרישה (67) או עד מותו, המוקדם מביניהם.
- גובה קצבת פנסיית הגישור שיקבל הפורש, נכון למועד עריכת התחשיב: 18,709 ₪ והוא חושב לפי משכורת קובעת בגובה 26,727 ₪, עובד למועד עריכת התחשיב, ואחוז קצבה בשיעור 70%.
- חישבנו את השווי הנוכחי האקטוארי של תשלומי פנסיית הגישור החודשיים העתידיים של הפורש, ממועד עריכת התחשיב ועד הגיעו בחיים לגיל 67 (קרי, יום ה- 22/10/2038) או עד מותו, המוקדם מביניהם, מהוונים אקטוארית (באמצעות ערך הזמן של הכסף והסתברויות התמותה של הפורש) בחזרה למועד עריכת התחשיב.
- בחישוב השווי הנוכחי האקטוארי של תשלומי הפנסיה התקציבית החודשיים העתידיים של הפורש השתמשנו בלוחות תמותה שלמים של ישראל 2015–2019 (לוח מספר 5: יהודים-זכרים) מיום ה- 26/7/2021.
- הואיל ותשלומי פנסיית הגישור החודשיים העתידיים של הפורש הינם צמודים למדד המחירים לצרכן, הרי שבחישוב השווי הנוכחי האקטוארי של תשלומי פנסיית הגישור החודשיים העתידיים השתמשנו בשיעור הריבית ריאלית חסרת הסיכון בישראל, בעלת מח"מ לתקופה דומה למשך חיי פנסיית הגישור ממועד עריכת התחשיב ועד הגעה בחיים לגיל 67, העדכנית ביותר נכון למועד עריכת התחשיב. כאומדן לשיעור זה בחנו את שיעור התשואה לפדיון של אגרות חוב של מדינת ישראל מסוג ממשלתית צמודה (סדרה מספר 0841) אשר משך החיים הממוצע (מח"מ) שלהן עמד על כ- 16.56 שנים, הנושאות תשואה לפדיון של כ- 0.2%- (מינוס 0.2%) נכון למועד עריכת התחשיב.
חישובים:
תוצאות התחשיב:
השווי הנוכחי האקטוארי: 3,746,143
- הערכה אקטוארית של פנסיה תקציבית של פורש מצה"ל
הנתונים:
- מועד עריכת התחשיב: 26/11/2021
- הפורש המבוטח בפנסיה תקציבית הינו יליד 22/10/1971, בן 50 וחודש במועד עריכת התחשיב. לצורך החישוב גיל הפורש עוגל על ידנו לגיל 50.
- התבקשנו לבצע חישוב לשווי הנוכחי האקטוארי של תשלומי הפנסיה התקציבית החודשיים העתידיים שהפורש יקבל ממשרד הביטחון בהנחה שיגיע בחיים לגיל 67 (קרי, החל מיום ה- 22/10/2038) ועד הגיעו בחיים לגיל תום לוח התמותה (110) או עד מותו, המוקדם מביניהם.
- גובה קצבת הפנסיה התקציבית שיקבל הפורש, נכון למועד עריכת התחשיב: 18,709 ₪ והוא חושב לפי משכורת קובעת בגובה 26,727 ₪, עובר למועד עריכת התחשיב, ואחוז קצבה בשיעור 70%.
- חישבנו את השווי הנוכחי האקטוארי של תשלומי הפנסיה התקציבית החודשיים העתידיים של הפורש, ממועד הגעת הפורש בחיים לגיל 67 (יום ה- 22/10/2038) ועד הגיעו בחיים לגיל 110 (קרי, יום ה- 22/10/2081) או עד מותו, המוקדם מביניהם, מהוונים אקטוארית (באמצעות ערך הזמן של הכסף והסתברויות התמותה של הפורש) בחזרה למועד עריכת התחשיב.
- בחישוב השווי הנוכחי האקטוארי של תשלומי הפנסיה התקציבית החודשיים העתידיים של הפורש השתמשנו בלוחות תמותה שלמים של ישראל 2015–2019 (לוח מספר 5: יהודים-זכרים) מיום ה- 26/7/2021.
- הואיל ותשלומי הפנסיה התקציבית החודשיים העתידיים של הפורש הינם צמודים למדד המחירים לצרכן, הרי שבחישוב השווי הנוכחי האקטוארי של תשלומי הפנסיה התקציבית החודשיים העתידיים השתמשנו בשיעור הריבית ריאלית חסרת הסיכון בישראל, בעלת מח"מ לתקופה דומה למשך חיי הפנסיה התקציבית ממועד עריכת התחשיב ועד הגעה בחיים לגיל 110, העדכנית ביותר נכון למועד עריכת התחשיב. כאומדן לשיעור זה בחנו את שיעור התשואה לפדיון של אגרות חוב של מדינת ישראל מסוג ממשלתית צמודה (סדרה מספר 1151) אשר משך החיים הממוצע (מח"מ) שלהן עמד על כ- 28.11 שנים (למח"מ ארוך ככל האפשר), הנושאות תשואה לפדיון של כ- 0.08% נכון למועד עריכת התחשיב.
חישובים:
תוצאות התחשיב:
השווי הנוכחי האקטוארי: 3,597,036
- הערכה אקטוארית של מענק יובל של פורש מצה"ל
הנתונים:
- מועד עריכת התחשיב: 26/11/21
- הפורש הזכאי למענק יובל הינו יליד 22/10/1971, בן 50 וחודש במועד עריכת התחשיב. לצורך החישוב גיל הפורש עוגל על ידנו לגיל 50.
- התבקשנו לבצע חישוב לשווי הנוכחי האקטוארי של תשלומי מענק היובל השנתיים העתידיים שהפורש יקבל ממשרד הביטחון החל מועד עריכת התחשיב ועד הגיעו בחיים לגיל הפרישה (110) או עד מותו, המוקדם מביניהם.
- גובה מענק היובל החד פעמי שיקבל הפורש בעת הפרישה, נכון למועד עריכת התחשיב: 16,036 ₪ והוא חושב לפי 60% משכורת קובעת בגובה 26,727 ₪, עובד למועד עריכת התחשיב.
- גובה מענק היובל הקבוע שיקבל הפורש מדי שנה, נכון למועד עריכת התחשיב: 11,225 ₪ והוא חושב לפי 60% פנסיה חודשית בגובה 18,709 ₪, עובד למועד עריכת התחשיב.
- חישבנו את השווי הנוכחי האקטוארי של תשלומי מענק היובל השנתיים העתידיים של הפורש, ממועד עריכת התחשיב ועד הגיעו בחיים לגיל 110 (קרי, יום ה- 22/10/2081) או עד מותו, המוקדם מביניהם, מהוונים אקטוארית (באמצעות ערך הזמן של הכסף והסתברויות התמותה של הפורש) בחזרה למועד עריכת התחשיב.
- בחישוב השווי הנוכחי האקטוארי של תשלומי מענק היובל השנתיים העתידיים של הפורש השתמשנו בלוחות תמותה שלמים של ישראל 2015–2019 (לוח מספר 5: יהודים-זכרים) מיום ה- 26/7/2021.
- הואיל ותשלומי תשלומי מענק היובל השנתיים העתידיים של הפורש הינם צמודים למדד המחירים לצרכן, הרי שבחישוב השווי הנוכחי האקטוארי של תשלומי מענק היובל השנתיים העתידיים השתמשנו בשיעור הריבית ריאלית חסרת הסיכון בישראל, בעלת מח"מ לתקופה דומה למשך חיי מענק היובל ממועד עריכת התחשיב ועד הגעה בחיים לגיל 110, העדכנית ביותר נכון למועד עריכת התחשיב. כאומדן לשיעור זה בחנו את שיעור התשואה לפדיון של אגרות חוב של מדינת ישראל מסוג ממשלתית צמודה (סדרה מספר 1151) אשר משך החיים הממוצע (מח"מ) שלהן על כ- 28.11 שנים (למח"מ ארוך ככל האפשר), הנושאות תשואה לפדיון של כ- 0.08% נכון למועד עריכת התחשיב.
חישובים:
תוצאות התחשיב
השווי הנוכחי האקטוארי: 4,321,202
- הערכה אקטוארית של פנסיה מקרן פנסיה ותיקה לעמית
הנתונים:
- מועד עריכת התחשיב: 26/11/2021.
- העמית בקרן הפנסיה הותיקה הינו יליד 10/02/1971, בן 50 ו- 10 חודשים במועד עריכת התחשיב. לצורך החישוב ביצענו אינטרפולציה לינארית פשוטה בין גיל 50 לגיל 51.
- התבקשנו לבצע חישוב לשווי הנוכחי האקטוארי של תשלומי הפנסיה החודשיים העתידיים שהעמית יקבל מקרן הפנסיה הותיקה בהנחה שיגיע בחיים לגיל 67 (קרי, החל מיום ה- 10/02/2038) ועד הגיעו בחיים לגיל תום לוח התמותה (110) או עד מותו, המוקדם מביניהם.
- גובה קצבת הפנסיה שיקבל העמית, נכון למועד עריכת התחשיב: 9,919 ₪ והוא חושב לפי משכורת קובעת בגובה 19,531 ₪, עובר למועד עריכת התחשיב, ואחוז קצבה בשיעור 51.44%. הקצבה המחושבת (קרי, 9,919 ₪ היא לאחר הפחתה בשיעור של 1.274% לשם איזון אקוארי של הקרן בשל אי העלאת גיל הפרישה לנשים).
- חישבנו את השווי הנוכחי האקטוארי של תשלומי הפנסיה החודשיים העתידיים של העמית, ממועד הגעת העמית בחיים לגיל 67 (יום ה- 10/02/2038) ועד הגיעו בחיים לגיל 110 (קרי, יום ה- 10/02/2081) או עד מותו, המוקדם מביניהם, מהוונים אקטוארית (באמצעות ערך הזמן של הכסף והסתברויות התמותה של העמית) בחזרה למועד עריכת התחשיב.
- בחישוב השווי הנוכחי האקטוארי של תשלומי הפנסיה החודשיים העתידיים של העמית השתמשנו בלוחות תמותה שלמים של ישראל 2015–2019 (לוח מספר 5: יהודים-זכרים) מיום ה- 26/7/2021.
- הואיל ותשלומי הפנסיה החודשיים העתידיים של הפורש העמית צמודים למדד המחירים לצרכן, הרי שבחישוב השווי הנוכחי האקטוארי של תשלומי הפנסיה החודשיים העתידיים השתמשנו בשיעור הריבית ריאלית חסרת הסיכון בישראל, בעלת מח"מ לתקופה דומה למשך חיי הפנסיה מקרן הפנסיה הותיקה ממועד עריכת התחשיב ועד הגעה בחיים לגיל 110, העדכנית ביותר נכון למועד עריכת התחשיב. כאומדן לשיעור זה בחנו את שיעור התשואה לפדיון של אגרות חוב של מדינת ישראל מסוג ממשלתית צמודה (סדרה מספר 1151) אשר משך החיים הממוצע (מח"מ) שלהן עמד על כ- 28.11 שנים (למח"מ ארוך ככל האפשר), הנושאות תשואה לפדיון של כ- 0.08% נכון למועד עריכת התחשיב.
חישובים:
תוצאות התחשיב:
השווי הנוכחי האקטוארי: 1,920,841
- סיכום
אקטואריה הינה מדע, המשתמש בטכניקות מתמטיות וסטטיסטיות לפתרון בעיות כלכליות וחברתיות בהן משולבים מצבים של אי-ודאות.
אדם העוסק במדע האקטואריה באופן מקצועי נקרא אקטואר.
אקטואריה כוללת כמה תחומים חופפים כגון סטטיסטיקה, הסתברות, כלכלה ומימון.
מר אבירם בילדר מוסמך כאקטואר סיכוני חיים (LRA) מטעם לשכת מעריכי השווי והאקטוארים הפיננסיים בישראל (IAVFA) ומשמש כחבר בצוות המשימה שאמון על כתיבת גילוי הדעת של הלשכה. מר בילדר בעל רישיון רואה חשבון בישראל מטעם מועצת רואי החשבון בישראל, בוגר השתלמויות מקצועית באקטואריה ("תחשיבים אקטואריים בסיסיים" ו- "Actuarial Valuations: Defined-Benefit Pensions, Defined-Contribution Pensions & Disability Pensions from the National Insurance Institute in Excel") ובהערכות שווי ("Business Valuations: Control Value, Minority Value, Financial Forecasts, Discount Rates, Synthetic Credit Rating, Tax Asset & DLOM in Excel") של לשכת מעריכי השווי והאקטוארים הפיננסיים בישראל (IAVFA), בעל תואר שני במנהל עסקים עם התמחות בניהול פיננסי מאוניברסיטת תל-אביב ותואר ראשון בכלכלה עם התמחות בחשבונאות מהמרכז האקדמי רופין. מר בילדר הינו חבר במעמד נלווה (Affiliate Member) בלשכת מעריכי השווי והאקטוארים הפיננסיים בישראל (IAVFA).מר אבירם בילדרמר בילדר מוסמך כאקטואר סיכוני חיים (LRA) מטעם לשכת מעריכי השווי והאקטוארים הפיננסיים בישראל (IAVFA) ומשמש כחבר בצוות המשימה שאמון על כתיבת גילוי הדעת של הלשכה. מר בילדר בעל רישיון רואה חשבון בישראל מטעם מועצת רואי החשבון בישראל, בוגר השתלמויות מקצועית באקטואריה ("תחשיבים אקטואריים בסיסיים" ו- "Actuarial Valuations: Defined-Benefit Pensions, Defined-Contribution Pensions & Disability Pensions from the National Insurance Institute in Excel") ובהערכות שווי ("Business Valuations: Control Value, Minority Value, Financial Forecasts, Discount Rates, Synthetic Credit Rating, Tax Asset & DLOM in Excel") של לשכת מעריכי השווי והאקטוארים הפיננסיים בישראל (IAVFA), בעל תואר שני במנהל עסקים עם התמחות בניהול פיננסי מאוניברסיטת תל-אביב ותואר ראשון בכלכלה עם התמחות בחשבונאות מהמרכז האקדמי רופין. מר בילדר הינו חבר במעמד נלווה (Affiliate Member) בלשכת מעריכי השווי והאקטוארים הפיננסיים בישראל (IAVFA).
בעשור וחצי האחרונים, מר בילדר חיווה את דעתו המקצועית במאות הערכות שווי, בחינות כדאיות פרויקטים, בניית מודלים כלכליים, חוות דעת כלכליות ואקטואריות, אומדני נזקים כלכליים, תוכניות עסקיות, הכנת תחזיות כלכליות, עבודות ניתוח אשראי ואנליזות עסקיות בין היתר בעבודתו במחלקת הייעוץ הכלכלי במשרד רואי חשבון קוסט פורר גבאי את קסירר (Ernst & Young ישראל) ובמחלקות הביקורת והייעוץ במשרד רואי חשבון הורוביץ עידן סבו טבת & כהן טבח (Baker Tilly ישראל). כיום מר בילדר הינו בעלים של "בילדר גרופ" – ייעוץ פיננסי ועסקי.
מר בילדר בעל ניסיון בעבודה מימונית משנת 2007 ומומחה בעריכת חוות דעת כלכליות/חשבונאיות בנושאים: הערכות שווי עסקים (בתהליכי מכירת חברות, קנייתן, מיזוג בין חברות, בתהליכי גיוס הון, סכסוכים משפטיים ועסקיים, למטרות מס וכיוצא באלה עסקאות), הערכת שווי במסגרת ייחוס עלויות רכישה (PPA – Purchase Price Allocation), הערכת שווי בעת בדיקות פגימה (Impairment) לנכסים לרבות מוניטין, הערכת שווי למכשירי הון (כגון מניות בכורה, הקצאות אופציות לעובדים – ESOP's והערכת שווי מניה רגילה בחברה פרטית – A409), הערכת שווי למכשירים (נכסים והתחייבויות) פיננסיים (כגון מניות, ניירות ערך, איגרות חוב, אופציות וכו'), הערכת שווי נגזרים משובצים, הערכת שווי לנכסים בלתי מוחשיים (כגון פטנטים, סימני מסחר, קשרי לקוחות, הון אנושי ועוד), הערכת שווי בעסקאות של בעלי שליטה עם חברה בשליטתם, הערכת נזקים עקב פגיעות גוף, הפסדי שכר ופנסיה, חישובי ביטוח לאומי, איזון משאבים בגירושין, נכסי קריירה, בדיקה של התנהלות בחשבונות בנק, חישובי ריבית, בדיקה והערות לחוות דעת של מומחים, ועוד. כמו כן, מר בילדר עוסק בייעוץ עסקי, תוכניות עסקיות, משכנתאות וגיוסי אשראי.
משרד שווי פנימי – מעריכי שווי בלתי תלויים קיים מ- 2010 ומספק שירותי ייעוץ אקטוארי מימוני וכלכלי. המשרד נותן שירות מקצועי ואמין בנושאים המצריכים חוות דעת אקטוארית/כלכלית, כגון: מחויבות אקטוארית בגין הטבות לעובדים בהתאם ל- IAS19, הערכת שווי חברות וקניין רוחני, הערכת שווי אופציות ומכשירי חוב והון מורכבים, הערכת נזקים עקב פגיעות גוף, הפסדי שכר ופנסיה, איזון משאבים בגירושין ובדיקת פנסיות וביטוחי חיים.
רועי פולניצר
בעל משרד לייעוץ אקטוארי מימוני וכלכלי עם ניסיון של מעל לאלף הערכות שווי, עבודות ייעוץ כלכלי, ניתוחי סיכונים וחוות דעת אקטואריות. ניסיון משנת 2004 בביצוע הערכות שווי של תאגידים, נכסים בלתי מוחשיים ומכשירים פיננסיים מורכבים ומשנת 2007 בעריכת חוות דעת אקטואריות בנושאים: הפסדי שכר, הפסדי פנסיה וזכויות סוציאליות, נזקי גוף, ביטוח לאומי, תגמולים ממשרד הביטחון, איזון משאבים עקב גירושין, נכסי קריירה, דו"חות אקטואריים להערכת התחייבויות החברה לעובדיה בהתאם לתקן IAS19, בדיקה והערות לחוות דעת של מומחים ובדיקת פנסיות וביטוחי חיים. אקטואר מלא (Fellow) בלשכת מעריכי השווי והאקטוארים הפיננסיים בישראל (F.IL.A.V.F.A.) משנת 2018.
Tags: אקטואריה הערכות שווי כלכלה פיננסים
