אקטוארים בקרנות הפנסיה עוסקים בתכנון תנאי הפנסיה, קביעת עלותה ובהכנת המאזנים האקטואריים. מאמר זה משמש כרקע אקטוארי לסוכני ביטוח, יועצים פנסיוניים, מתכננים פיננסיים, יועצי מס ורואי חשבון לפתרון בעיית מקדם הקצבה בקופות חיסכון פנסיוני

פורסם: 17.1.20 צילום: shutterstock

מקדמי קצבה

במאמר זה נעסוק בחישוב "מקדם קצבה" (Annuity Factor) השקול אפקטיבית מכל המהותיות לעלות האקטוארית של קצבת חיים רגילה (Straight Life Annuity) בת 1 ₪ לשנה, המשתלמת מדי חודש בחודשו בתשלומים חודשיים של 1/12 ₪.

קצבת חיים רגילה הינה קצבה המשתלמת עד למותו/סוף חייו של אדם מסוים, ללא מאפייני תשלום מיוחדים כמו למשל תקופה מסוימת.

מאמר זה משמש כאמור כרקע אקטוארי לסוכני ביטוח, יועצים פנסיוניים, מתכננים פיננסיים, יועצי מס ורואי חשבון. התיאור הכלול במאמר זה אינו אמור להיות תיאור מלא ומפורט של כלל מקדמי הקצבה המיושמים בקרנות פנסיה, ביטוחי מנהלים וקופות גמל, אלא מתייחס לעיקריים שבהם. למידע נוסף על מקדמי קצבה (כגון: קצבת חיים משותפת, קצבת חיים לשאיר או קצבה עם מאפיין קבוע וידוע) יש לפנות לאקטואר סיכוני חיים (LRA) או לאקטואר סיכונים פנסיוניים (PRA) מוסמך של לשכת מעריכי השווי והאקטוארים הפיננסיים בישראל (IAVFA).

• סימונים

הסימונים הבאים מייצגים מקדמי קצבה השקולים אפקטיבית מכל המהותיות לעלות האקטוארית בגיל "x" של קצבת חיים רגילה בת 1 ₪ לשנה לכל החיים, החל מגיל "x". קצבאות חיים המסומנות בצידן הימני העליון באמצעות 12 בתוך סוגריים, "(12)", משתלמות מדי חודש בחודשו, בתשלומים חודשיים של 1/12 ₪. על פי רוב, מקדם הקצבה מבוטא באמצעות שני סימונים:

שתי הערות: 1) בסימון הראשון משמאל לא נעשה שימוש ב"נקודותיים אופקיים" (Umlaut) מעל ה- "a" שמסמן את הקצבה הזו) ו- 2) בסימון השני מימין הואיל והתשלומים מתחילים בסוף השנה ה- 67 הרי שניתן לחשוב על זה כתחילת השנה ה- 68.

להלן סימונים כלליים לקצבאות בפיגור:

קצבה דחויה ל- "n" שנים היא קצבה שבה התשלום הראשון אינו משולם במשך "n" שנים. לפיכך, התשלום הראשון לאדם בגיל 60, שקונה קצבה דחויה ל- 7 שנים מראש, המשולמת שנתית או חודשית, לא יחל עד שהאדם יגיע לגיל 67. התשלום הראשון לאותו אדם במסגרת קצבה דחויה ל- 7 שנים בפיגור, המשולמת שנתית או חודשית, לא יחל עד שהאדם יגיע לגיל 68. הואיל והתשלומים במסגרת קצבה בפיגור המשולמת חודשית משולמים בסוף החודש (סוף תקופת התשלום, שניתן היה לחשוב עליה גם כתחילת תקופת התשלום הבאה), הרי שתשלומים לאותו אדם שתואר לעיל תחת קצבה דחויה ל- 7 שנים בפיגור, נדחה לקצבה מיידית, המשולמת חודשית, לא יחלו עד שהאדם יגיע לגיל 67 וחודש (1/12).

• פונקציות קומוטציה בהתבסס על טבלת תמותה ספציפית

על מנת לחשב מקדם קצבה, שהוא למעשה העלות של קצבת חיים אינסופית של 1 ₪ לשנה (או קצבת חיים אינסופית של 1 ₪ לחודש), יש להגדיר טבלת תמותה ושיעור ריבית.

טבלת תמותה היא טבלה המציגה נתונים סטטיסטיים של חיים ומוות בקרב אוכלוסיית אנשים מסוימת. הטבלה מציגה את מספר האנשים שנותרו בחיים בכל אחד מהגילאים ובכל אחת מהשנים העוקבות, ומתוך נתונים אלה נקבעות למעשה ההסתברויות הכלליות לשרוד מעבר ולמות עד לגילאים השונים. טבלת תמותה יכולה להיות מורכבת מעמוד אחד.

באופן כללי וגס, העלות של קצבה של 1 ₪ לשנה שווה לסך הצברם של השוויים הנוכחיים האקטוארים של כל אחד מהתשלומים בסך 1 ₪ שצפויים להתבצע, תוך התחשבות בהסתברויות לשרוד מעבר לכל אחד מהגילאים. ההיוון האקטוארי הינו למעשה היוון של מכפלת כל אחד מהתשלומים בני 1 ₪ כ"א, בהסתברות השרידות המתאימה לו, באמצעות שיעור הריבית שהונח לשם ההיוון, בחזרה לגיל שבו מחושבת עלות הקצבה.

על ידי שימוש בהסתברויות לשרוד מעבר לגיל מסוים או למות עד גיל מסוים, שיעור הריבית שהונח ונוסחאות אקטואריות שונות, ניתן לגזור הלכה למעשה פונקציות קומוטציה.

• מתודולוגיה

על מנת לחשב את העלות או השווי הנוכחי האקטוארי בגיל 50 של קצבת חיים אינסופית של 1 ₪ לשנה המתחילה להשתלם בגיל 50 באמצעות טבלת התמותה שה. 2017-15788 (גברים) נכון ליום 31.12.2018 ושיעור ריבית של 3% לשנה, הנתון המתאים מהעמודה NX מחולק בנתון המתאים מהעמודה DX. הגודל הראוי עבור NX מתקבל על ידי חיתוך שורת הגיל שבו הקצבה תתחיל להשתלם עם עמודה NX, והגודל הראוי עבור DX  מתקבל על ידי חיתוך שורת הגיל שבו נקבע השווי הנוכחי האקטוארי עם עמודה DX. כאשר הקצבה מוערכת לאותו גיל שבו היא מתחילה להשתלם, הרי שאותו הגיל (50 במקרה דנן שלפנינו) משמש עבור ה- NX וה-  Dx. מקדם הקצבה שווה ל- 497,112.5952 (NX עבור 50 = x) לחלק ל- 22,569.8501 (DX עבור 50 = x), אשר שווה ל- 22.026, אם המנה (quotient) מעוגלת לשלוש ספרות לאחר הנקודה העשרונית לצורך הטבלה, NX ו- DX שווים לסימונים Nx ו- Dx.

אם קצבת חיים אינסופית מראש של 1 ₪ לשנה, המשתלמת מדי חודש בחודשו, מתחילה בגיל אחד (X) ומוערכת בגיל שונה (Y), או אז הגודל המתקבל על ידי חיתוך שורת הגיל שבו הקצבה תתחיל להשתלם (X) מחולק בגודל המתקבל על ידי חיתוך שורת הגיל שבו נקבע השווי הנוכחי האקטוארי (Y) עם עמודה DX. לדוגמא, נניח כי עלות קצבת חיים אינסופית מראש, המשתלמת מדי חודש בחודשו ומתחילה בגיל 67, נקבעת כאשר מקבל הקצבה היא גיל 60. באמצעות פונקציות הקומוטציה הנגזרות מאותה טבלת תמותה ואותו שיעור ריבית, מקדם הקצבה שווה ל- 188,827.4396 (NX(12) עבור 67 = x) לחלק ל- 16,523.5840 (DX עבור 60 = x), אשר שווה ל- 11.428. כמובן שבמונחי כסף, השווי הנוכחי האקטוארי של מקדם הקצבה יהיה 11.43 ₪ (מכיוון שזה היה 11.4277532).

דוגמא נוספת, קצבת חיים אינסופית מראש של 1 ₪ לשנה, המשתלמת מדי חודש בחודשו, מתחילה בגיל 60 ומוערכת בגיל 60. על מנת לחשב את מקדם הקצבה עלינו לחלק 292,343.5530 ((NX(12 עבור 60 = x) ב- 16,523.5840 (DX עבור 60 = x), אשר שווה ל- 17.693.

• סימונים אחרים

הערה אינפורמטיבית: החישוב של מקדם קצבה שהוא עלות קצבה בפיגור, המשולמת מדי חודש בחודשו, הוא מורכב יותר, ומחייב שימוש בנוסחת אינטרפולציה בנוסף לפונקציות הקומוטציה המשמשות ברגיל לצורך חישוב מקדמי קצבה, והוא מעבר למסגרתו של מאמר זה. על המעוניין במידע/סיוע נוסף בתחום זה לפנות לאקטואר סיכוני חיים (LRA) או לאקטואר סיכונים פנסיוניים (PRA) מוסמך של לשכת מעריכי השווי והאקטוארים הפיננסיים בישראל (IAVFA).

• הערות נוספות

הטבלאות שהוזכרו עם פונקציות הקומוטציה ושערי הריבית הספציפיים המונחים אינם ייחודיים. טבלה אחרת המבוססת על אותה טבלת תמותה ואותו שיעור הריבית עשויה להיראות בצורה שונה (כלומר המספרים בעמודות השונות יהיו שונים מאלו שבטבלה שלנו) אך עדיין אמורה להניב את אותם מקדמי קצבה בעת ביצוע החלוקה המתאימה (אחרי הכל מדובר באותה טבלת תמותה ואותו שיעור ריבית). דבר כזה יכול לנבוע משונות קלה באלגוריתמים המשמשים את המחשב לצורך יצירת המספרים, מספר הספרות אחרי הנקודה העשרונית שבו נעשה שימוש, גודל אוכלוסיה התחלתי (Radix) שונה או מסיבות אחרות. בנוסף, טבלת פונקציות קומוטציה עשויה להציג עמודות של פונקציות קומוטציה השונות מאלו שהוצגו במאמר זה.

טבלאות התמותה של משרד האוצר ושל הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה לא מגיעות עם טבלת פונקציות קומוטציה נלווית (להבדיל מטבלאות התמותה של הביטוח הלאומי). על המעוניין בסיוע בתחום זה לפנות לאקטואר סיכוני חיים (LRA) או לאקטואר סיכונים פנסיוניים (PRA) מוסמך של לשכת מעריכי השווי והאקטוארים הפיננסיים בישראל (IAVFA).

• שקילות אקטוארית (Actuarial Equivalence)

מה המשמעות של אמירה ששתי הטבות שונות שקולות אקטוארית? בעיקרון, פירוש הדבר הוא ששתי הטבות שונות המוערכות לאותה נקודת זמן נותנות את אותו סכום חד-פעמי. על מנת לקבוע אם שתי הטבות אכן שקולות מבחינה אקטוארית, על פי רוב מקובל תחילה להמיר את אחת ההטבות לסכום חד-פעמי, לאחר מכן לקחת את הסכום החד-פעמי המתקבל לאותה נקודת הזמן (דהיינו, אותו הגיל) של ההטבה השנייה, ולבסוף להמיר אותו בחזרה להטבה. על מנת קצבת חיים להמיר קצבת חיים בודדת לסכום חד-פעמי (ולהעביר אקטוארית סכום חד-פעמי קדימה או אחורה) יש להגדיר תחילה טבלת תמותה ושיעור ריבית. ההטבה מוכפלת בעלות קצבה של 1 ₪, המשתלמת מדי חודש או מדי שנה, כאשר גורם קצבה שכזה נקבע באמצעות טבלת התמותה ושיעור הריבית שהונחו.

• דוגמא 1

בעזרת טבלת התמותה שה. 2017-15788 (גברים) נכון ליום 31.12.2018 ושיעור ריבית של 3% לשנה, הבה ונקבע האם הטבה לקבלת קצבה חיים בודדת בסך 87,927 ₪, המשתלמת מדי חודש ומתחילה בגיל 62, שקולה אקטוארית להטבה לקבלת קצבה חיים בודדת בסך 78,288 ₪, המשתלמת מדי חודש ומתחילה המתחילה בגיל 60?

פיתרון. על מנת לקבוע האם שתי ההטבות לעיל שקולות אקטוארי, יש להעריך את שתי ההטבות לאותה נקודת זמן, נניח בגיל 62 (ניתן היה להשתמש גם בגיל 60). על מנת להעריך לגיל 62 את ההטבה שמתחילה בגיל 60, יש להמיר אותה תחילה לסכום חד-פעמי באמצעות הכפלתה בגורם קצבה בגיל 60, הנגזר באמצעות טבלת התמותה ושיעור הריבית שהונחו. גורם הקצבה בגיל 60

• דוגמא 2

מהי ההטבה לקבלת קצבת חיים אינסופית בפיגור המתחילה להשתלם בגיל 60 ששקולה אקטוארית להטבה לקבלת קצבת חיים אינסופית בפיגור בסך 67,500 ₪ לשנה המתחילה להשתלם בגיל 62, כאשר השקילות האקטוארית נקבעת באמצעות טבלת התמותה שה. 2017-15788 (גברים) נכון ליום 31.12.2018 ושיעור ריבית של 1% לשנה?

פיתרון. ראשית, ההטבה לקבלת קצבת חיים בודדת בסך 67,500 ₪ המתחילה להשתלם בגיל 62, מומרת לסכום חד-פעמי על ידי הכפלתה בגורם קצבה לגיל 62 הנגזר באמצעות טבלת התמותה ושיעור הריבית שהונחו. גורם הקצבה

משרד שווי פנימי – מעריכי שווי בלתי תלויים קיים מ- 2010 ומספק שירותי ייעוץ אקטוארי מימוני וכלכלי. המשרד נותן שירות מקצועי ואמין בנושאים המצריכים חוות דעת אקטוארית/כלכלית, כגון: מחויבות אקטוארית בגין הטבות לעובדים בהתאם ל- IAS19, הערכת שווי חברות וקניין רוחני, הערכת שווי אופציות ומכשירי חוב והון מורכבים, הערכת נזקים עקב פגיעות גוף, הפסדי שכר ופנסיה, איזון משאבים בגירושין ובדיקת פנסיות וביטוחי חיים.

בעל משרד לייעוץ אקטוארי מימוני וכלכלי עם ניסיון של מעל לאלף הערכות שווי, עבודות ייעוץ כלכלי, ניתוחי סיכונים וחוות דעת אקטואריות. ניסיון משנת 2004 בביצוע הערכות שווי של תאגידים, נכסים בלתי מוחשיים ומכשירים פיננסיים מורכבים ומשנת 2007 בעריכת חוות דעת אקטואריות בנושאים: הפסדי שכר, הפסדי פנסיה וזכויות סוציאליות, נזקי גוף, ביטוח לאומי, תגמולים ממשרד הביטחון, איזון משאבים עקב גירושין, נכסי קריירה, הערכת התחייבויות החברה לעובדיה בהתאם לתקן דיווח כספי בינלאומי IFRS2 ולתקן חשבונאות בינלאומי IAS19, בדיקה והערות לחוות דעת של מומחים ובדיקת פנסיות וביטוחי חיים. אקטואר מלא (Fellow) בלשכת מעריכי השווי והאקטוארים הפיננסיים בישראל (F.IL.A.V.F.A.) משנת 2018.

משרד בילדר גרופ קיים מ- 2013 ומספק לצד שירותי תוכניות עסקיות, ייעוץ עסקי וגיוס אשראי גם שירותי ייעוץ אקטוארי פיננסי כלכלי. המשרד נותן שירות מקצועי ואמין בנושאים המצריכים חוות דעת אקטוארית/מימונית, כגון: הערכת שווי תאגידים, הערכת שווי נכסים בלתי מוחשיים, הערכת שווי מכשירים פיננסיים מורכבים, הערכת נזקים עקב פגיעות גוף ומחלות, בהפסדי שכר ופנסיה, באיזון משאבים בגירושין, בפנסיות תקציביות ובנכסי קריירה.

בעל משרד לייעוץ אקטוארי פיננסי וכלכלי עם ניסיון של מאות הערכות שווי, תוכניות עסקיות וחוות דעת מימוניות/כלכליות. בעל ניסיון משנת 2007 בביצוע חוות דעת מימוניות/כלכליות בנושאים: הערכת שווי חברות, סוכנויות ביטוח, הפסדי שכר, הפסדי פנסיה וזכויות סוציאליות, נזקי גוף, ביטוח לאומי, פנסיה תקציבית, איזון משאבים עקב גירושין, נכסי קריירה, בדיקה והערות לחוות דעת של מומחים, הערכות שווי קניין רוחני, הערכות שווי אופציות, בדיקה של התנהלות בחשבונות בנק, חישובי ריבית ועוד. כמו כן, עוסק בייעוץ עסקי, תוכניות עסקיות, משכנתאות וגיוסי אשראי. חבר בלשכת מעריכי השווי והאקטוארים הפיננסיים בישראל משנת 2017 ובוגר השתלמות מקצועית בנושא "תחשיבים אקטואריים בסיסיים" מטעם לשכת מעריכי השווי והאקטוארים הפיננסיים בישראל.

מגזין "סטטוס" מופק ע"י: 

Tags:  הערכת שווי כלכלה

---